Ⅶ 도형의 닮음

익힘책 해설편

Ⅶ-1 도형의 닮음

선수 학습                               p. 217

1 (1) [eqn: 9]     (2) [eqn: 9]     (3) [eqn: 21]     (4) [eqn: 7]

2 세로의 길이를 [eqn: x~rmcm]라 하면

[eqn: 4``:``3=24``:``x], [eqn: 4x=72]    [eqn: THEREFORE ``x=18]

따라서 세로의 길이는 [eqn: 18~ rm cm]이다.

3 (1) [eqn: bar{rmBC} = bar{rmFE} =6~rmcm], [eqn: bar{rmDF} = bar{rmAB} =4~rmcm]

(2) [eqn: ANGLE rmD= ANGLE rmA=180 DEG - LEFT ( 45 DEG +60 DEG RIGHT ) =75 DEG]

4 [eqn: TRIANGLE rm ABD == TRIANGLE rm ACE], [eqn: rm ASA] 합동

탐구 활동 또 알아보기	p. 218

1 [eqn: {LEFT ( 간달프의~키 RIGHT )} over {LEFT ( 프로도의~키 RIGHT )} = {210} over {120} = {7} over {4}]이다. 프로도를 연기한 엘리야 우드의 키가 [eqn: 168~rmcm]이므로 프로도의 시점에 맞추어진 세트에서 천장의 높이는 [eqn: 168 TIMES {7} over {4} =294 LEFT ( rm cm RIGHT )]이다.

2 프로도의 키가 [eqn: 120~rmcm]이므로 프로도에게 알맞게 만들어진 사물의 크기는 [eqn: {120} over {180} = {2} over {3}]이다. 간달프를 연기한 이안 맥켈렌의 키는 마법사 간달프의 키의 [eqn: {180} over {210} = {6} over {7}]이다. 따라서 보통 사람의 키가 [eqn: 180~rmcm]라 가정할 때 프로도의 시점에 맞추어진 세트에 사용된 크기는 보통 사물의 크기의 [eqn: {2} over {3} TIMES {6} over {7} = {4} over {7}](배)가 되어야 한다.

탐구 활동 또 알아보기	p. 219

1 점 [eqn: rm O]를 닮음의 중심으로 하여 [eqn: □rmABCD]와 [eqn: □rmPQRS]는 닮음의 위치에 있다.
따라서 [eqn: □rmABCD]가 정사각형이므로 [eqn: □rmPQRS]도 정사각형이다.

2 다음 순서에 따라 작도하면 된다.

(1) 오른쪽 그림과 같이 변 [eqn: rmAB] 위에 한 점 [eqn: rmP]를 잡고 점 [eqn: rmP]에서 변 [eqn: rmBC] 위에 내린 수선의 발을 [eqn: rmQ]라 하자.

(2) 선분 [eqn: rmPQ]를 한 변으로 하는 정사각형 [eqn: rmPQRS]를 그린다.

(3) 점 [eqn: rmB]와 정사각형 [eqn: rmPQRS]의 한 꼭짓점 [eqn: rm S]를 이은 직선이 변 [eqn: rmAC]와 만나는 점을 [eqn: rmS prime]이라 하자.

(4) 점 [eqn: rm S prime]에서 [eqn: bar{rmBC}]에 평행한 직선을 그어 [eqn: bar{rmAB}]와 만나는 점을 [eqn: rm P prime]이라 하자.

(5) 두 점 [eqn: rm P prime ,~S prime]에서 [eqn: bar{rm BC it}]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm Q prime ,~R prime]이라 하자.

(6) [eqn: □ rm P prime Q prime R prime S prime]이 구하려는 정사각형이다.

익힘 문제                          pp. 220~225

1

2 (1), (3), (4), (5)

3 (1), (3), (4)

4 (1) [eqn: 2``:``1]

(2) [eqn: bar{rm AB it} ``:`` bar{rm EF it} `=2``:``1]

[eqn: 8``:`` bar{rm EF it} `=2``:``1]

[eqn: THEREFORE `` bar{rmEF} `=4~rmcm]

(3) [eqn: ANGLE rm G= ANGLE rm C=360 DEG - LEFT ( ANGLE A+ ANGLE B+ ANGLE D RIGHT )]

[eqn: =360 DEG - LEFT ( 65 DEG +95 DEG +70 DEG RIGHT )]

[eqn: =130 DEG]

5 (1) [eqn: 2``:``3]

(2) [eqn: bar{rm AD it} ``: bar{`` rm EH it} `=2``:``3]이므로

[eqn: bar{rmAD} ``:``9=2``:``3]

[eqn: THEREFORE `` bar{rmAD} `=6~rmcm]

(3) [eqn: ANGLE rmF= ANGLE B=360 DEG - LEFT ( ANGLE A+ ANGLE C+ ANGLE D RIGHT )]

[eqn: =360 DEG - LEFT ( ANGLE rmA+ ANGLE G+ ANGLE D RIGHT )]

[eqn: =360 DEG - LEFT ( 80 DEG +85 DEG +75 DEG RIGHT )]

[eqn: =120 DEG]

6 두 원뿔 [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]의 닮음비는 [eqn: 2``:``3]이므로

각 원뿔의 밑면의 지름의 길이의 비도 [eqn: 2``:``3]이다.

[eqn: LEFT ( 원뿔~ rm A의~밑면의~지름의~길이 RIGHT ) ``:``12=2``:``3]

이므로 원뿔 [eqn: rmA]의 밑면의 지름의 길이는 [eqn: 8~rmcm]이다. 따라서 원뿔 [eqn: rmA]의 밑면의 둘레의 길이는

[eqn: 8 pi ```` rm cm]이다.

7 (1)

(2)

8 (1)

[eqn: bar{rmAA prime } = bar{rmA prime O} `,~ bar{rmBB prime } = bar{rmB prime O} `,]

[eqn: bar{rmCC prime } = bar{rmC prime O} `,~ bar{rmDD prime } = bar{rmD prime O}]

(2)

[eqn: bar{rm AA prime it} = bar{rm A prime O it} `,~ bar{rm CC prime it} = bar{rm C prime O it} `,~ bar{rmDD prime } = bar{rmD prime O}]

9 (1) [eqn: TRIANGLE rm ABC]∽[eqn: TRIANGLE rm DEF]

(2) [eqn: 3``:``1]

(3) [eqn: bar{rmBC} ``:` bar{rmEF} =3``:``1]이므로

[eqn: 6``:`` bar{rmEF} =3``:``1]

[eqn: THEREFORE `` bar{rmEF} =2~rmcm]

10 [eqn: ANGLE rm M= ANGLE rm H=60 DEG]

[eqn: bar{rmMN} ``:`` bar{rmHG} =10``:``15=2``:``3]

[eqn: bar{rmMO} ``:`` bar{rmHI} =12``:``18=2``:``3]

[eqn: THEREFORE `` TRIANGLE rmGHI]∽[eqn: TRIANGLE rmNMO]([eqn: rmSAS] 닮음)

11 [eqn: TRIANGLE rmAEB]∽[eqn: TRIANGLE rmDEC],

두 쌍의 대응하는 변의 길이의 비가 같고, 그 끼인 각의 크기가 같다. ([eqn: rmSAS] 닮음)

12 (1) [eqn: TRIANGLE rmDBE]∽[eqn: TRIANGLE rmCBA]

([eqn: rmSAS] 닮음)이므로

[eqn: bar{rmDB} ``:`` bar{rmCB}]

[eqn: = bar{rmDE} ``:` bar{rmCA}]

즉, [eqn: 5``:``10=x``:``6]    [eqn: THEREFORE ``x=3]

(2) [eqn: TRIANGLE rmABD]∽[eqn: TRIANGLE rmCBA]

([eqn: rmSAS] 닮음)이므로

[eqn: bar{rmAB} ``:`` bar{rmCB} `]

[eqn: = bar{rmAD} ``:`` bar{rmCA}]

즉, [eqn: 12``:``18=y``:``9]    [eqn: THEREFORE ``y=6]

13 (1) [eqn: TRIANGLE rmABC]∽[eqn: TRIANGLE rmDEC]

([eqn: rmAA] 닮음)이므로

[eqn: bar{rmBC} ``:`` bar{rmEC}]

[eqn: = bar{rmCA} ``:`` bar{rmCD}]

즉,

[eqn: 12``:``x= LEFT ( x+1 RIGHT ) ``:``6]

[eqn: x LEFT ( x+1 RIGHT ) =12 TIMES 6=72=8 TIMES 9]

[eqn: THEREFORE ``x=8]

(2) [eqn: TRIANGLE rmABC]∽[eqn: TRIANGLE rmDBE]

([eqn: rmAA] 닮음)이므로

[eqn: bar{rmAB} ``:`` bar{rmDB}]

[eqn: = bar{rmBC} ``:`` bar{rmBE}]

즉, [eqn: 8``:``6=10``:``y]

[eqn: THEREFORE ``y= {15} over {2}]

14 [eqn: TRIANGLE rmADC]∽[eqn: TRIANGLE rmAEB]

([eqn: rm AA] 닮음)이므로

[eqn: bar{rmDC} ``:`` bar{rmEB} = bar{rmAC} ``:`` bar{rmAB}]

즉, [eqn: bar{rmCD} ``:``8=15``:``10]

[eqn: THEREFORE `` bar{rmCD} `=12~rmcm]

15 [eqn: TRIANGLE rmAGE]∽[eqn: TRIANGLE rmCBA]

([eqn: rmAA] 닮음)이므로

[eqn: bar{rm AG it} ``:`` bar{rm CB it} `=` bar{rm AE it} ``:`` bar{rm CA it}]

즉, [eqn: 5``:``8= bar{rm AE it} ``:``10]

[eqn: THEREFORE `` bar{rm AE it} = {25} over {4} ```` rm cm]

16 [eqn: 2500~rmm] 되는 지점에서의 높이를 [eqn: h~rmm]라 하면

[eqn: 1000``:``2500=240``:``h]

[eqn: THEREFORE ``h=600]

따라서 구하는 높이는 [eqn: 600~rmm]이다.

17 정사각형 [eqn: rmDBEF]의 한 변의 길이를 [eqn: a~rmcm]라 하면 [eqn: bar{rm AD it} = LEFT ( 6-a RIGHT ) ```` rm cm]

[eqn: TRIANGLE rmADF]∽[eqn: TRIANGLE rmABC]([eqn: rmAA] 닮음)이므로

[eqn: bar{rmAD} ``:`` bar{rmAB} `=` bar{rmDF} ``:`` bar{rmBC}]

즉, [eqn: LEFT ( 6-a RIGHT ) ``:``6=a``:``8,~6a=8 LEFT ( 6-a RIGHT )]

[eqn: THEREFORE ``a= {24} over {7}]

따라서 정사각형 [eqn: rmDBEF]의 한 변의 길이는 [eqn: {24} over {7} ```` rm cm]이다.

18 [eqn: TRIANGLE rmABC]∽[eqn: TRIANGLE rmDEA]([eqn: rmAA] 닮음)이므로

[eqn: bar{rmAB} ```:`` bar{rmDE} = bar{rmBC} ``:`` bar{rmEA}]

즉, [eqn: 9``:``3=6``:`` bar{rmEA}]

[eqn: THEREFORE `` bar{rmEA} =2~rmcm]

또, [eqn: bar{rmAB} ``:`` bar{rmDE} = bar{rmAC} ``:`` bar{rmDA}]

즉, [eqn: 9``:``3= LEFT ( 8+ bar{rmDA} RIGHT ) ``:`` bar{rmDA}]

[eqn: 9 bar{rmDA} =3 LEFT ( 8+ bar{rmDA} RIGHT )]

[eqn: THEREFORE `` bar{rmDA} =4~rmcm]

따라서 [eqn: TRIANGLE rmADE]의 둘레의 길이는

[eqn: bar{rmAD} `+` bar{rmDE} `+` bar{rmEA} =4+3+2=9 LEFT ( rmcm RIGHT )]

19 (1) [eqn: TRIANGLE rmABC]∽[eqn: TRIANGLE rmDBA]이므로

[eqn: bar{rmAB} ``:`` bar{rmDB} = bar{rmBC} ``:`` bar{rmBA}], [eqn: 6``:``x=10``:``6]

[eqn: THEREFORE ``x= {18} over {5}]

(2) [eqn: TRIANGLE rmABC]∽[eqn: TRIANGLE rmDAC]이므로

[eqn: bar{rmAC} ``:`` bar{rmDC} `=` bar{rmBC} ``:`` bar{rmAC}], [eqn: 8``:``x=12``:``8]

[eqn: THEREFORE ``x= {16} over {3}]

(3) [eqn: TRIANGLE rmACD]∽[eqn: TRIANGLE rmBAD]이므로

[eqn: bar{rmAD} ``:`` bar{rmCD} `=` bar{rmBD} ``:`` bar{rmAD}], [eqn: 6``:``x=4``:``6]

[eqn: THEREFORE ``x=9]

(4) [eqn: TRIANGLE rmDAC]∽[eqn: TRIANGLE rmABC]이므로

[eqn: bar{rmAD} ``: bar{rmBA} = bar{rmAC} ``:`` bar{rmBC}], [eqn: x``:``3=4``:``5]

[eqn: THEREFORE ``x= {12} over {5}]

20 [eqn: bar{rmBC} `=` bar{rmBD} + bar{rmDC}]

[eqn: =5+20=25 LEFT ( rmcm RIGHT )]이므로

[eqn: bar{rm BM it} = {25} over {2} ```` rm cm]

[eqn: bar{rmDM} `=` bar{rmBM} `-` bar{rmBD}]

[eqn: = {25} over {2} -5= {15} over {2} LEFT ( rmcm RIGHT )]

또, [eqn: bar{rmAM} = bar{rmBM} = bar{rmCM}]이므로

[eqn: bar{rm AM it} = {25} over {2} ```` rm cm]

[eqn: TRIANGLE rmABC]에서 [eqn: bar{rm AD it} ` ^{2} = bar{rm BD it} ` TIMES bar{rm DC it}]이므로

[eqn: bar{rm AD it} ` ^{2} =5 TIMES 20=100]

[eqn: THEREFORE `` bar{rmAD} =10~rmcm]

[eqn: TRIANGLE rmADM]에서

[eqn: bar{rmAD} ` TIMES bar{rmDM} = bar{rmAM} ` TIMES bar{rmDE}]이므로

[eqn: 10 TIMES {15} over {2} = {25} over {2} TIMES bar{rmDE}]

[eqn: THEREFORE `` bar{rmDE} `=6~rmcm]

연습 문제                         pp. 226~227

1 (1) [eqn: bar{rmDE} ``:`` bar{rmJK} =4``:``6=2``:``3]

(2) [eqn: bar{rmEF} ``:`` bar{rmKL} `=2``:``3]이므로

[eqn: x``:``3=2``:``3]    [eqn: THEREFORE ``x=2]

[eqn: bar{rmAD} ``:`` bar{rmGJ} `=2``:``3]이므로

[eqn: 6``:``y=2``:``3]    [eqn: THEREFORE ``y=9]

[eqn: bar{rmAC} ``:`` bar{rmGI} `=`2``:``3]이므로

[eqn: 4``:``z=2``:``3]    [eqn: THEREFORE ``z=6]

따라서 [eqn: x+y+z=2+9+6=17]

2 [eqn: □rmABCD]∽[eqn: □rmEFGH]이고, 닮음비는 [eqn: 7``:``3]이므로 [eqn: □rmABCD]와 [eqn: □rmEFGH]의 둘레의 길이의 비도 [eqn: 7``:``3]이다.

[eqn: 35``:`` LEFT ( □ rm EFGH의~둘레의````길이 RIGHT ) =7``:``3]이므로

[eqn: □ rm EFGH]의 둘레의 길이는 [eqn: 15~ rm cm]이다.

3  [eqn: TRIANGLE rmADE]∽[eqn: TRIANGLE rmACB]([eqn: rmAA] 닮음)이므로

[eqn: bar{rmAE} ``:`` bar{rmAB} `=` bar{rmDE} ``:`` bar{rmCB}]

즉, [eqn: 4``:`` LEFT ( x+6 RIGHT ) =8``:``24]

또, [eqn: bar{rm AD it} ``:`` bar{rm AC it} `=` bar{rm DE it} ``:`` bar{rm CB it}]

즉, [eqn: 6``:`` LEFT ( 4+y RIGHT ) =8``:``24]    [eqn: THEREFORE ``y=14]

4 [eqn: TRIANGLE rmADB]∽[eqn: TRIANGLE rmBEC]([eqn: rmAA] 닮음)이므로

[eqn: bar{rmAD} ``:`` bar{rmBE} `=` bar{rmDB} ``:`` bar{rmEC}]

즉, [eqn: 3``:``6= bar{rm DB it} ``:``8]    [eqn: THEREFORE `` bar{rm BD it} `=4~ rm cm]

5

[eqn: TRIANGLE rmABC]∽[eqn: TRIANGLE rm EFD]([eqn: rm AA] 닮음)이므로

[eqn: bar{rmAC} ``:`` bar{rmED} `=` bar{rmBC} ``:`` bar{rmFD}]

즉, [eqn: 120``:``160= bar{rmBC} ``:``120]

[eqn: THEREFORE `` bar{rmBC} `=90~rmcm]

[eqn: THEREFORE ``□rmABEF= {1} over {2} TIMES LEFT ( bar{rmBE} `+` bar{rmAF} RIGHT ) TIMES bar{rmFD}]

[eqn: = {1} over {2} TIMES LEFT ( 290+40 RIGHT ) TIMES 120]

[eqn: =19800 LEFT ( rmcm ^{2} RIGHT )]

기초

6 [eqn: □rmABCD]와 [eqn: □rmEFGH]의 닮음비는

[eqn: 5```:``3]이므로

[eqn: bar{rmBC} ``:`` bar{rmFG} `=`5``:``3]

즉, [eqn: x``:``6=5``:``3]    [eqn: THEREFORE ``x=10]

또, [eqn: ANGLE rmH= ANGLE rmD=135 DEG]    [eqn: THEREFORE ``y=135]

7 (1) 두 쌍의 대응하는 변의 길이의 비가 같고, 그 끼인 각의 크기가 같으므로 두 삼각형은 닮음이다.
[eqn: bar{rmAB} ``:`` bar{rmDE} = bar{rmBC} ``:`` bar{rmEF} =1``:``2], [eqn: ANGLE rmB= ANGLE rmE]
이므로 [eqn: TRIANGLE rmABC]∽[eqn: TRIANGLE rmDEF]

(2) 두 쌍의 대응하는 각의 크기가 각각 같으므로 두 삼각형은 닮음이다.
[eqn: ANGLE rmH= ANGLE rmK,~ ANGLE rmI= ANGLE rmL]이므로
[eqn: TRIANGLE rm GHI]∽[eqn: TRIANGLE rm JKL]

심화

8 [eqn: TRIANGLE rmBFE]∽[eqn: TRIANGLE rmCDE]([eqn: rmAA] 닮음)이므로
[eqn: bar{rmBF} ``:`` bar{rmCD} `=` bar{rmBE} ``:`` bar{rmCE}] 즉, [eqn: 4``:`` bar{rmCD} `=`6``:``9]
[eqn: THEREFORE `` bar{rmCD} `=`6~rmcm]
또, 평행사변형의 대변의 길이는 서로 같으므로
[eqn: bar{rmAB} `=` bar{rmCD}]    [eqn: THEREFORE `` bar{rm AB it} =6~ rm cm]

9 [eqn: TRIANGLE rmOBD]∽[eqn: TRIANGLE rmCAD]([eqn: rmAA] 닮음)이므로

[eqn: bar{rm OD it} ``:`` bar{rm CD it} `=` bar{rm BD it} ``:`` bar{rm AD it}] 즉, [eqn: 2``:``5=5``:`` bar{rm AD it}]
[eqn: THEREFORE `` bar{rm AD it} `= {25} over {2} ```` rm cm]
[eqn: THEREFORE `` bar{rmAO} = bar{rmAD} `- bar{rmOD} `= {25} over {2} -2= {21} over {2} LEFT ( rmcm RIGHT )]

서술형 맛보기                           p. 228

어떻게 써야 할까?	배점
[eqn: TRIANGLE rmPAB]와 [eqn: TRIANGLE rmPED]에서 [eqn: bar{rmAB} `=` bar{rmED}], [eqn: ANGLE rmA= ANGLE rmE=90 DEG], [eqn: ANGLE rmAPB= ANGLE rmEPD](맞꼭지각) 이므로 [eqn: TRIANGLE rmPAB == TRIANGLE rmPED]([eqn: rmASA] 합동)이다. 따라서 [eqn: bar{rmPB} = bar{rmPD}]이다.	3점
[eqn: bar{rmPB} = bar{rmPD}]이므로 [eqn: TRIANGLE rmPBD]는 이등변삼각형이다. 이등변삼각형의 성질에 의하여 [eqn: bar{rmBQ} = bar{rmQD} = {1} over {2} bar{rmBD} =5~rmcm]	2점
[eqn: TRIANGLE rmBQP]와 [eqn: TRIANGLE rmBED]에서 [eqn: ANGLE rmQ= ANGLE rmE=90 DEG], [eqn: ANGLE rmB]는 공통인 각이므로 [eqn: TRIANGLE rmBQP]∽[eqn: TRIANGLE rmBED] ([eqn: rmAA] 닮음)이다. 따라서 [eqn: bar{rmBQ} ``:`` bar{rmBE} `=` bar{rmPQ} ``:`` bar{rmDE}] 즉, [eqn: 5``:``8= bar{rm PQ it} ``:``6]이므로 [eqn: bar{rm PQ it} `= {15} over {4} ```` rm cm]	5점
총점	10점

따라해 보기

[eqn: TRIANGLE rm DBF]와 [eqn: TRIANGLE rm FCE]에서 [eqn: ANGLE rm B= ANGLE rm C=60 DEG]이고, 삼각형의 두 내각의 크기의 합은 다른 한 각의 외각의 크기와 같으므로 [eqn: ANGLE rm BDF= ANGLE rm CFE]

따라서 [eqn: TRIANGLE rm DBF]∽[eqn: TRIANGLE rm FCE]([eqn: rmAA] 닮음)이다.

5점

[eqn: bar{rmDB} ``:`` bar{rmFC} `=` bar{rmDF} ``:`` bar{rmFE}]이므로

[eqn: 8``:``10=7``:`` bar{rmFE}]

[eqn: THEREFORE `` bar{rm FE it} = {35} over {4} ```` rm cm]

또, [eqn: TRIANGLE rm ADE` == TRIANGLE rm FDE]이므로

3점

[eqn: bar{rm AE it} `= bar{rm FE it} = {35} over {4} ```` rm cm]

2점

평가 문제                          pp. 229~230

1 ②, ③  2 ④    3 ①	4 ④	5 ③

6 ⑤	7 ④    8 ①    9 ③    단답·서술형은 풀이 참조

2 ④ [eqn: rmAA] 닮음

3 [eqn: TRIANGLE rmABC]∽[eqn: TRIANGLE rmDEF]이므로

[eqn: bar{rmAB} ``:`` bar{rmDE} `=` bar{rmAC} ``:`` bar{rmDF}], [eqn: x``:``8=2``:``4]

[eqn: THEREFORE ``x=4]

[eqn: bar{rmBC} ``:`` bar{rmEF} `=` bar{rmAC} ``:`` bar{rmDF}], [eqn: 3``:``y=2``:``4]

[eqn: THEREFORE ``y=6]

4 ① [eqn: 8~rmcm]

② [eqn: 4~rmcm]

③ [eqn: 75 DEG]

⑤ [eqn: bar{rmDE} ``:`` bar{rmIJ} `=`2``:``3], [eqn: bar{rmBC} ``:`` bar{rmGH} `=`2``:``3]

5 [eqn: LEFT ( 수면의~반지름의~길이 RIGHT ) ``:``8=3``:``4]이므로

수면의 반지름의 길이는 [eqn: 6~rmcm]이다.

6 ⑤ [eqn: bar{rmOA} ``:`` bar{rmAD} `=`1``:``2]

7 ④ [eqn: ANGLE rmACB= ANGLE rmDFE]

8 ② [eqn: rmAA] 닮음

③ [eqn: rmSSS] 닮음

④ [eqn: rmSAS] 닮음

⑤ [eqn: rmAA] 닮음

9 [eqn: TRIANGLE rmABC]∽[eqn: TRIANGLE rmAED]([eqn: rmSAS] 닮음)이므로

[eqn: bar{rmAB} ``:`` bar{rmAE} `=` bar{rmBC} ``:`` bar{rmED}]

즉, [eqn: 10``:``5=x``:``6]    [eqn: THEREFORE ``x=12]

■단답·서술형■

10 [eqn: bar{rm AC it} ` ^{2} = bar{rm AH it} TIMES bar{rm AB it}]이므로

[eqn: 20 ^{2} =16 LEFT ( 16+x RIGHT )]    [eqn: THEREFORE ``x=9]

6점

[eqn: bar{rm BC it} ` ^{2} = bar{rm BH it} ` TIMES bar{rm BA it}]이므로

[eqn: y ^{2} =9 TIMES 25]    [eqn: THEREFORE ``y=15]

6점

[eqn: THEREFORE ``x+y=9+15=24]

2점

11 [eqn: TRIANGLE rmAED]는 이등변삼각형이므로

[eqn: ANGLE rmAED= ANGLE rmADE]

5점

[eqn: THEREFORE `` ANGLE rmAEB=180 DEG - ANGLE rmAED]

[eqn: =180 DEG - ANGLE rmADE= ANGLE rmCDB]

5점

또, [eqn: ANGLE rmABE`= ANGLE rmCBD]이므로

[eqn: TRIANGLE rmABE]∽[eqn: TRIANGLE rmCBD]([eqn: rmAA] 닮음)

6점

12 [eqn: TRIANGLE rmAPD]∽[eqn: TRIANGLE rmEPF]([eqn: rmAA] 닮음)이므로

5점

[eqn: bar{rm AP it} =x~ rm cm]라 하면

[eqn: bar{rmAP} ``:`` bar{rmEP} `=` bar{rmAD} ``:`` bar{rmEF}]

즉, [eqn: `x``:`` LEFT ( 80-x RIGHT ) =210``:``70]

6점

[eqn: 70x=210 LEFT ( 80-x RIGHT )]

[eqn: THEREFORE ``x=60]

5점

따라서 점 [eqn: rmA]로부터 [eqn: 60~rmcm] 떨어져 있는 점 [eqn: rmP]를 쳐야 한다.

Ⅶ-2 닮음의 활용

선수 학습                                p. 233

1 (1) [eqn: ANGLE a=30 DEG ,~ ANGLE b=150 DEG]

(2) [eqn: ANGLE a=50 DEG ,~ ANGLE b=65 DEG +50 DEG =115 DEG]

2 [eqn: m⫽n]

3 (1) [eqn: 7 TIMES 5+ {1} over {2} TIMES 7 TIMES 3= {91} over {2} LEFT ( rmcm ^{2} RIGHT )]

(2) [eqn: 24 TIMES 12- LEFT ( 24-9 RIGHT ) TIMES LEFT ( 12-6 RIGHT ) =198 LEFT ( rmcm ^{2} RIGHT )]

4 (1) 겉넓이: [eqn: LEFT ( {1} over {2} TIMES 4 TIMES 3 RIGHT ) TIMES 2+ LEFT ( 3+4+5 RIGHT ) TIMES 7]

[eqn: =96 LEFT ( rmcm ^{2} RIGHT )]

부피: [eqn: LEFT ( {1} over {2} TIMES 4 TIMES 3 RIGHT ) TIMES 7=42 LEFT ( rmcm ^{3} RIGHT )]

(2) 겉넓이: [eqn: LEFT ( 4 pi TIMES 3 ^{2} RIGHT ) TIMES {1} over {2} + pi TIMES 3 ^{2}]

[eqn: =27 pi LEFT ( rmcm ^{2} RIGHT )]

부피: [eqn: LEFT ( {4} over {3} pi TIMES 3 ^{3} RIGHT ) TIMES {1} over {2} =18 pi LEFT ( rm cm ^{3} RIGHT )]

탐구 활동 또 알아보기	p. 234

1 대각선 [eqn: rmBD]를 그으면 [eqn: TRIANGLE rmABD]에서

[eqn: bar{rm AE it} ``:`` bar{rm EB it} `=` bar{rm AL it} ``:`` bar{rm LD it} `=`1``:``2]

이므로 [eqn: bar{rmEL} `⫽ bar{rmBD}], 즉 [eqn: bar{rmPS} `⫽ bar{rmBD}]이다.

또, [eqn: TRIANGLE rmBCD]에서 같은 방법으로 [eqn: bar{rmQR} `⫽ bar{rmBD}],

즉 [eqn: bar{rmPS} `⫽ bar{rmQR}]

2 오른쪽 그림과 같이 대각선 [eqn: rmAC]를 그으면

[eqn: TRIANGLE rmABC]에서

[eqn: bar{rmBF} ``:`` bar{rmFA}]

[eqn: = bar{rmBG} ``:`` bar{rmGC} =1``:``3]

이므로 [eqn: bar{rmFG} `⫽ bar{rmAC}], 즉 [eqn: bar{rmPQ} `⫽ bar{rmAC}]이다.

또, [eqn: TRIANGLE rmACD]에서 같은 방법으로 [eqn: bar{rmSR} `⫽ bar{rmAC}], 즉 [eqn: bar{rmPQ} `⫽ bar{rmSR}]이다.

대각선 [eqn: rmBD]를 그으면 같은 방법으로 [eqn: bar{rmPS} `⫽ bar{rmQR}]이다.

두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 [eqn: □rmPQRS]는 평행사변형이다.

탐구 활동 또 알아보기	p. 235

1 지면과 수평을 유지한다.

2 지면과 수평을 유지한다.

3 점 [eqn: rmG]가 사각형의 무게중심이 되기 때문이다.

익힘 문제                           pp. 236~247

1 (1) [eqn: y``:``10=8``:``12]    [eqn: THEREFORE ``y= {20} over {3}]

[eqn: 9``:``x=12``:``4]    [eqn: THEREFORE ``x=3]

(2) [eqn: y``:``10=4``:``12]    [eqn: THEREFORE ``y= {10} over {3}]

[eqn: 5``:``x=4``:``12]    [eqn: THEREFORE ``x=15]

2 (1) [eqn: x``:``6=6``:``4]    [eqn: THEREFORE ``x=9]

(2) [eqn: x``:``8=3``:``6]    [eqn: THEREFORE ``x=4]

3 [eqn: 8``:``4= LEFT ( 8+x RIGHT ) ``:``6,~4x=16]    [eqn: THEREFORE ``x=4]

[eqn: 8``:``5=12``:``y,~8y=60]    [eqn: THEREFORE ``y= {15} over {2}]

4 (가) [eqn: TRIANGLE rmECD]        (나) [eqn: ANGLE rmCED]

5 (1) [eqn: bar{rmAB} ``:`` bar{rmAC} `=` bar{rmBD} ``:`` bar{rmCD}]이므로

[eqn: 12``:``9= LEFT ( 15-x RIGHT ) ``:``x]    [eqn: THEREFORE ``x= {45} over {7}]

(2) [eqn: bar{rmAC} ``:`` bar{rmAB} `=` bar{rmCD} ``:`` bar{rmBD}]이므로

[eqn: x``:``9=18``:``12]    [eqn: THEREFORE ``x= {27} over {2}]

6 (1) [eqn: □rmECFD]는 두 쌍의 대변이 서로 평행하므로 평행사변형이 된다.

평행사변형의 성질에 의하여

[eqn: ANGLE rmE= ANGLE rmF]이고

[eqn: ANGLE rmADE= ANGLE rmDBF](엇각)

[eqn: THEREFORE `` TRIANGLE rmADE]∽[eqn: TRIANGLE rmDBF]([eqn: rmAA] 닮음)

(2) 닮은 두 삼각형의 대응하는 변의 길이의 비는 모두 같으므로

[eqn: bar{rmAD} ``:`` bar{rmDB} `=` bar{rmAE} ``:`` bar{rmDF}]

평행사변형의 성질에 의하여

[eqn: bar{rmDF} `=` bar{rmEC}]이므로

[eqn: bar{rmAD} ``:`` bar{rmDB} `=` bar{rmAE} ``:`` bar{rmEC}]가 성립한다.

7 (1) [eqn: x``:``3=5``:``2]    [eqn: THEREFORE ``x= {12} over {5}]

(2) [eqn: 3``:``x=4``:``6]    [eqn: THEREFORE ``x= {9} over {2}]

8 (1) [eqn: 5``:``3=4``:``x]    [eqn: THEREFORE ``x= {12} over {5}]

(2) [eqn: x``:``4=6``:``15]    [eqn: THEREFORE ``x= {8} over {5}]

9 [eqn: 6``:``8=x``:``10]    [eqn: THEREFORE ``x= {12} over {5}]

[eqn: 8``:``14=y``:``21]    [eqn: THEREFORE ``y=12]

10 (1) 대각선 [eqn: rmAC]를 그어 [eqn: bar{rmEF}]와 만나는 점을 [eqn: rmG]라 하면 [eqn: TRIANGLE rmAEG]와 [eqn: TRIANGLE rmABC]에서

[eqn: bar{rm AE it} ``:`` bar{rm AB it}]

[eqn: = bar{rm EG it} ``:`` bar{rm BC it}]

즉, [eqn: 3``:``8= bar{rm EG it} ``:``8]    [eqn: THEREFORE `` bar{rm EG it} =3~ rm cm]

[eqn: TRIANGLE rmCFG]와 [eqn: TRIANGLE rmCDA]에서

[eqn: bar{rmCF} ``:`` bar{rmCD} `=` bar{rmFG} ``:`` bar{rmDA}]

즉, [eqn: 5``:``8= bar{rmFG} ``:``4]    [eqn: THEREFORE `` bar{rm FG it} = {5} over {2} ```` rm cm]

[eqn: THEREFORE `` bar{rmEF} `=` bar{rmEG} `+` bar{rmGF} = {11} over {2} LEFT ( rmcm RIGHT )]

[eqn: THEREFORE ``x= {11} over {2} ```` rm cm]

(2) 대각선 [eqn: rmAC]를 그어 [eqn: bar{rmEF}]와 만나는 점을 [eqn: rmG]라 하면
[eqn: TRIANGLE rmAEG]와 [eqn: TRIANGLE rmABC]에서

[eqn: bar{rmAE} ``:`` bar{rmAB} `=` bar{rmEG} ``:`` bar{rmBC}]

즉, [eqn: 2``:``5= bar{rmEG} ``:``10]

[eqn: THEREFORE `` bar{rmEG} `=4~rmcm]

[eqn: THEREFORE `` bar{rmFG} `=` bar{rmEF} - bar{rmEG}]

[eqn: =8-4=4 LEFT ( rmcm RIGHT )]

[eqn: TRIANGLE rm CFG]와 [eqn: TRIANGLE rmCDA]에서

[eqn: bar{rmCF} ``:`` bar{rmCD} = bar{rmFG} ``:`` bar{rmDA}]

즉, [eqn: 3``:``5=4``:``x]    [eqn: THEREFORE ``x= {20} over {3}]

11 [eqn: TRIANGLE rm AEN]과 [eqn: TRIANGLE rm ABC]에서

[eqn: bar{rm AE it} ``:`` bar{rm AB it} `=` bar{rm EN it} ``:`` bar{rm BC it}]

즉, [eqn: 2``:``3= bar{rmEN} ``:``24]    [eqn: THEREFORE `` bar{rmEN} =16~rmcm]

[eqn: TRIANGLE rmBEM]과 [eqn: TRIANGLE rmBAD]에서

[eqn: bar{rmBE} ``:`` bar{rmBA} `=` bar{rmEM} ``:`` bar{rmAD}]

즉, [eqn: 1``:``3= bar{rmEM} ``:``27]    [eqn: THEREFORE `` bar{rmEM} =9~rmcm]

[eqn: THEREFORE `` bar{rmMN} = bar{rmEN} - bar{rmEM} =16-9=7 LEFT ( rmcm RIGHT )]

12 [eqn: TRIANGLE rmABE]∽[eqn: TRIANGLE rmCDE]([eqn: rmAA] 닮음)이고, 닮음비는

[eqn: bar{rmAB} ``:`` bar{rmCD} `=`12``:``6=2``:``1]이므로

[eqn: bar{rmBE} ``:`` bar{rmDE} `=2``:``1]

[eqn: TRIANGLE rmBEF]∽[eqn: TRIANGLE rmBDC]([eqn: rmAA] 닮음)이고, 닮음비는

[eqn: 2``:``3]이므로 [eqn: bar{rmEF} ``:`` bar{rmDC} `=`2``:``3]

즉, [eqn: bar{rmEF} ``:``6=2``:``3]    [eqn: THEREFORE `` bar{rmEF} =4~rmcm]

13 [eqn: 60.3``:``67=x``:``20]    [eqn: THEREFORE ``x=18]

[eqn: 60.3``:``67=y``:``22]    [eqn: THEREFORE ``y=19.8]

[eqn: 60.3``:``67=z``:``25]    [eqn: THEREFORE ``z=22.5]

따라서 호수 쪽 부분의 길이는 각각 [eqn: 18~rmm], [eqn: 19.8~rmm], [eqn: 22.5~rmm]이다.

14 [eqn: 6~rmcm]

15 [eqn: 4~rmcm]

16 [eqn: bar{rmAB} + bar{rmBC} + bar{rmCA} =2 LEFT ( bar{rmNM} + bar{rmLN} + bar{rmML} RIGHT )]

[eqn: =2 TIMES 25=50 LEFT ( rm cm RIGHT )]

17 [eqn: bar{rmMN} = {1} over {2} bar{rmBC} `= bar{rmPQ}]이므로 [eqn: bar{rmPQ} =4~rmcm]

18 (1) 대각선 [eqn: rmAC]를 그어 선분 [eqn: rmMN]과 만나는 점을 [eqn: rmF]라 하면

[eqn: bar{rmMF} = {1} over {2} bar{rmBC}]

[eqn: = {1} over {2} TIMES 8=4 LEFT ( rmcm RIGHT )]

[eqn: bar{rmFN} = {1} over {2} bar{rmAD}]

[eqn: = {1} over {2} TIMES 4=2 LEFT ( rmcm RIGHT )]

[eqn: THEREFORE `` bar{rmMN} = bar{rmMF} + bar{rmFN} =4+2]

[eqn: =6 LEFT ( rm cm RIGHT )]

(2) [eqn: bar{rmQN} = {1} over {2} bar{rmAD} = {1} over {2} TIMES 10=5 LEFT ( rmcm RIGHT )]

[eqn: bar{rmPN} = bar{rmPQ} + bar{rmQN} =3+5=8 LEFT ( rmcm RIGHT )]이므로

[eqn: bar{rmBC} =2 bar{rmPN} =2 TIMES 8=16 LEFT ( rmcm RIGHT )]

19 [eqn: bar{rm FG it} `= {1} over {2} bar{rm DE it} = {1} over {2} TIMES 12=6 LEFT ( rmcm RIGHT )]

[eqn: bar{rmBF} `=2 bar{rmDE} `=2 TIMES 12=24 LEFT ( rmcm RIGHT )]

[eqn: THEREFORE `` bar{rmBG} = bar{rmBF} - bar{rmFG} =24-6]

[eqn: =18 LEFT ( rmcm RIGHT )]

20 [eqn: TRIANGLE rmGDE]와 [eqn: TRIANGLE rmCFE]에서

[eqn: bar{rmDE} = bar{rmFE}], [eqn: ANGLE rm G`E`D= ANGLE rm CEF](맞꼭지각),

[eqn: ANGLE rmGDE= ANGLE rmCFE](엇각)이므로

[eqn: TRIANGLE rmGDE == TRIANGLE rmCFE]([eqn: rmASA] 합동)

[eqn: THEREFORE `` bar{rmEC} = bar{rmEG} =5~rmcm]

[eqn: bar{rmGC} = bar{rmEC} + bar{rmEG} =5+5=10 LEFT ( rmcm RIGHT )]이므로

[eqn: bar{rmAG} = bar{rmGC} =10~rmcm]

[eqn: THEREFORE `` bar{rmAC} = bar{rmAG} + bar{rmGC} =10+10=20 LEFT ( rmcm RIGHT )]

21 [eqn: bar{rmEF} = {1} over {2} bar{rmBD}]이고 [eqn: bar{rmDC} =2 bar{rmBD}]이므로

[eqn: bar{rm DC it} =4 bar{rm EF it}]

[eqn: TRIANGLE rmPFE]∽[eqn: TRIANGLE rmPDC]([eqn: rmAA] 닮음)이므로 닮음비는 [eqn: 1``:``4]이다.

[eqn: bar{rmFP} ``:`` bar{rmDP} `=`1``:``4]이므로 [eqn: bar{rmDP} =4 bar{rmFP}]

[eqn: bar{rmAF} = bar{rmFD}]이므로 [eqn: bar{rmAF} = bar{rmFP} + bar{rmPD} =5 bar{rmFP}]

[eqn: bar{rmAP} = bar{rmAF} + bar{rmFP} =6 bar{rmFP} ,~ bar{rmPD} =4 bar{rmFP}]

[eqn: bar{rmAP} ``:`` bar{rmPD} `=`6``:``4=3``:``2]이므로

[eqn: bar{rmAP} = {3} over {2} bar{rmPD}]

따라서 [eqn: bar{rmAP}]의 길이는 [eqn: bar{rmPD}]의 길이의 [eqn: {3} over {2}]배이다.

22 (1) [eqn: x=2,~y=6]

(2) [eqn: x=2,~y=6]

(3) [eqn: x=4,~y=15]

23 [eqn: bar{rmGD} = {1} over {3} bar{rmAD} = {1} over {3} TIMES 27=9 LEFT ( rmcm RIGHT )]

[eqn: bar{rmG prime D} = {1} over {3} bar{rmGD} = {1} over {3} TIMES 9=3 LEFT ( rmcm RIGHT )]

24 [eqn: bar{rmBD} = bar{rmAD} = bar{rmDC} =6~rmcm]

[eqn: THEREFORE `` bar{rm GD it} = {1} over {3} bar{rm BD it} = {1} over {3} TIMES 6=2 LEFT ( rm cm RIGHT )]

25 [eqn: TRIANGLE rmAGG prime]과 [eqn: TRIANGLE rmADE]에서

[eqn: bar{rmAG} ``:`` bar{rmAD} =2``:``3], [eqn: bar{rmAG prime } ``:`` bar{rmAE} =2``:``3],

[eqn: ANGLE rmA]는 공통인 각이므로

[eqn: TRIANGLE rmAGG prime]∽[eqn: TRIANGLE rmADE]([eqn: rmSAS] 닮음)

[eqn: THEREFORE `` bar{rm GG prime it} ``:`` bar{rm DE it} =2``:``3]

즉, [eqn: 20``:`` bar{rmDE} =2``:``3]이므로 [eqn: bar{rmDE} =30~rmcm]

[eqn: bar{rmBD} = bar{rmDM} ,~ bar{rmME} = bar{rmEC}]이므로

[eqn: bar{rmBC} = bar{rmBD} + bar{rmDM} + bar{rmME} + bar{rmEC}]

[eqn: =2 LEFT ( bar{rmDM} + bar{rmME} RIGHT ) =2 bar{rmDE} =2 TIMES 30]

[eqn: =60 LEFT ( rmcm RIGHT )]

26 [eqn: bar{rmDF} = {1} over {2} bar{rmBE} = {1} over {2} TIMES 10=5 LEFT ( rmcm RIGHT )]

[eqn: THEREFORE ``x=5]

[eqn: bar{rmFC} = bar{rmEF} =3~rmcm]이므로

[eqn: bar{rmEC} = bar{rmEF} + bar{rmFC} =3+3=6 LEFT ( rmcm RIGHT )]

[eqn: bar{rmAE} = bar{rmEC} =6~rmcm]

[eqn: THEREFORE `` bar{rmAC} = bar{rmAE} + bar{rmEC} =6+6=12 LEFT ( rmcm RIGHT )]

[eqn: bar{rmAB} = bar{rmAC} =12~rmcm]    [eqn: THEREFORE ``y=12]

[eqn: THEREFORE ``x+y=5+12=17]

27 [eqn: TRIANGLE rmGFH]∽[eqn: TRIANGLE rmGCD]([eqn: rmAA] 닮음)이고, 닮음비는 [eqn: 1``:``2]이므로

[eqn: bar{rmHG} ``:`` bar{rmDG} =1``:``2]

[eqn: THEREFORE `` bar{rmDG} =2 bar{rmHG}]

또, 점 [eqn: rmG]가 [eqn: TRIANGLE rmABC]의 무게중심이므로

[eqn: bar{rmAG} ``:`` bar{rmGD} =2``:``1]

[eqn: THEREFORE `` bar{rmAG} =2 bar{rmGD}]

[eqn: bar{rmAG} = bar{rmAH} + bar{rmHG}]이므로

[eqn: bar{rmAH} = bar{rmAG} - bar{rmHG} =2 bar{rmGD} - bar{rmHG}]

[eqn: =4 bar{rmHG} - bar{rmHG} =3 bar{rmHG}]

[eqn: THEREFORE `` bar{rm AH it} ``:`` bar{rm HG it} ``:`` bar{rm GD it} =3``:``1``:``2]

28 [eqn: bar{rmOC} =9~rmcm]이므로

[eqn: bar{rmOP} = {1} over {3} bar{rmOC} = {1} over {3} TIMES 9=3 LEFT ( rmcm RIGHT )]

29 (1) [eqn: 10~rmcm ^{2}]   (2) [eqn: 5~ rm cm ^{2}]   (3) [eqn: {10} over {3} ```` rm cm ^{2}]

30 [eqn: TRIANGLE rmABC=12~rmcm ^{2}]이고, 점 [eqn: rmG]가 [eqn: TRIANGLE rmABC]의 무게중심이므로

[eqn: TRIANGLE rmAGC= {1} over {3} TRIANGLE rmABC= {1} over {3} TIMES 12=4 LEFT ( rmcm ^{2} RIGHT )]

마찬가지로 [eqn: TRIANGLE rmAGB=4~rmcm ^{2}]

[eqn: bar{rm G`E} = bar{rm EC it}]이므로

[eqn: TRIANGLE rmAGE= {1} over {2} TRIANGLE rmAGC= {1} over {2} TIMES 4=2 LEFT ( rmcm ^{2} RIGHT )]

[eqn: bar{rmGD} = bar{rmDB}]이므로

[eqn: TRIANGLE rmAGD= {1} over {2} TRIANGLE rmAGB= {1} over {2} TIMES 4=2 LEFT ( rmcm ^{2} RIGHT )]

따라서 색칠한 부분의 넓이는

[eqn: TRIANGLE rmAGD+ TRIANGLE rmAGE=2+2=4 LEFT ( rmcm ^{2} RIGHT )]

31 [eqn: TRIANGLE rmGMD= TRIANGLE rmGBD]이고

[eqn: TRIANGLE rmAGB= {1} over {3} TRIANGLE rmABC= {1} over {3} TIMES 30=10 LEFT ( rmcm ^{2} RIGHT )]

이므로 [eqn: TRIANGLE rmDMA=10~rmcm ^{2}]

[eqn: TRIANGLE rmGMD= {1} over {3} TRIANGLE rmDMA= {1} over {3} TIMES 10= {10} over {3} LEFT ( rmcm ^{2} RIGHT )]

32

두 대각선 [eqn: rmAC]와 [eqn: rmBD]의 교점을 [eqn: rmQ]라 하면 점[eqn: rmP]는 [eqn: TRIANGLE rmABC]의 무게중심이므로

[eqn: TRIANGLE rmABP= {2} over {3} TRIANGLE ABQ]

[eqn: THEREFORE `` TRIANGLE rm ABQ= {3} over {2} TRIANGLE rm ABP= {3} over {2} TIMES 16=24 LEFT ( cm ^{2} RIGHT )]

[eqn: THEREFORE ``□ rm ABCD=4 TRIANGLE rm ABQ=4 TIMES 24=96 LEFT ( rm cm ^{2} RIGHT )]

33 (1) [eqn: TRIANGLE rmABC]와 [eqn: TRIANGLE rmDEF]의 닮음비가 [eqn: 2``:``3]이므로 넓이의 비는 [eqn: 2 ^{2} ``:``3 ^{2}], 즉 [eqn: 4``:``9]이다.

(2) [eqn: TRIANGLE rm ABC``:`` TRIANGLE rm DEF=4``:``9]이므로

[eqn: 24``:`` TRIANGLE rm DEF=4``:``9]

[eqn: THEREFORE `` TRIANGLE rmDEF=54~rmcm ^{2}]

34 (1) 부채꼴 [eqn: rmOAB]와 부채꼴 [eqn: rmOCD]의 닮음비가 [eqn: 2``:``5]이므로 둘레의 길이의 비도 [eqn: 2``:``5]이다.

(2) [eqn: 2 ^{2} ``:``5 ^{2}], 즉 [eqn: 4``:``25]

35 [eqn: TRIANGLE rmADF,~ TRIANGLE rmAEG,~ TRIANGLE rmABC]의 닮음비가

[eqn: 1``:``2``:``3]이므로 넓이의 비는 [eqn: 1``:``4``:``9]이다.

[eqn: THEREFORE ``□ rm DE`GF``:``□ rm EBCG=3``:``5]

즉, [eqn: □ rm DE`GF``:``9=3``:``5]

[eqn: THEREFORE ``□ rm DE`GF= {27} over {5} ```` rm cm ^{2}]

36 [eqn: TRIANGLE rmAOD]∽[eqn: TRIANGLE rmCOB]([eqn: rmAA] 닮음)이고, 닮음비는 [eqn: 1``:``2]이므로 넓이의 비는 [eqn: 1``:``4]이다.

또, [eqn: TRIANGLE rmABO= TRIANGLE rmDCO=2 TRIANGLE rmAOD]

[eqn: THEREFORE ``□rmABCD]

[eqn: = TRIANGLE rmAOD+ TRIANGLE rmABO+ TRIANGLE rmDCO+ TRIANGLE rmCOB]

[eqn: = TRIANGLE rm AOD+2 TRIANGLE AOD+2 TRIANGLE AOD+4 TRIANGLE AOD]

[eqn: =9 TRIANGLE rmAOD]

[eqn: THEREFORE `` TRIANGLE rmAOD= {1} over {9} □rmABCD= {1} over {9} TIMES 45][eqn: =5 LEFT ( rmcm ^{2} RIGHT )]

37 (1) [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]의 닮음비가 [eqn: 4``:``5]이므로

[eqn: 6``:``x=4``:``5]

[eqn: THEREFORE ``x= {15} over {2}]

(2) [eqn: 4 ^{2} ``:``5 ^{2}], 즉 [eqn: 16``:``25]

(3) [eqn: 4 ^{3} ``:``5 ^{3}], 즉 [eqn: 64``:``125]

38 두 쇠 구슬의 닮음비가 [eqn: 3``:``1]이므로 부피의 비는 [eqn: 27``:``1]이다.

따라서 [eqn: 27]개까지 만들 수 있다.

39 세 원뿔의 닮음비가 [eqn: 1``:``2``:``3]이므로 부피의 비는 [eqn: 1``:``8``:``27]이다.

[eqn: THEREFORE `` LEFT ( rm A의~부피 RIGHT ) ``:`` LEFT ( B의~부피 RIGHT ) ``:`` LEFT ( C의`부피 RIGHT )]

[eqn: =1``:``7``:``19]

[eqn: rmA]의 부피가 [eqn: 5~rmcm ^{3}]이므로 [eqn: rmB]의 부피는

[eqn: 35~rmcm ^{3}], [eqn: rmC]의 부피는 [eqn: 95~rmcm ^{3}]이다.

40 [eqn: LEFT ( 물의``부피 RIGHT ) ``:`` LEFT ( 물탱크의``부피 RIGHT ) =1 ^{3} ``:``2 ^{3} =1``:``8]

따라서 물탱크를 가득 채우는 데 [eqn: 80]분이 걸린다.

41 두 지점 [eqn: rm A,~B] 사이의 거리를 [eqn: x~rmcm]라 하면

[eqn: 1``:``2000=3``:``x]

[eqn: THEREFORE ``x=6000]

따라서 [eqn: rmA,~B] 사이의 거리는 [eqn: 6000~rmcm]

즉, [eqn: 60~rmm]이다.

42 에펠 탑의 높이를 [eqn: x~ rm m]라 하면

[eqn: LEFT ( 막대기의~길이 RIGHT ) ``:`` LEFT ( 에펠~탑의````높이 RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( 막대기의``그림자``길이 RIGHT ) : LEFT ( 에펠``탑의``그림자``길이 RIGHT )]

[eqn: 1.2``:``x=1.9``:``475]    [eqn: THEREFORE ``x=300]

따라서 에펠 탑의 높이는 [eqn: 300~rmm]이다.

43 [eqn: 6~rmm]

44

벽이 없었다면 전봇대의 그림자의 길이는 [eqn: bar{rmBE}]의 길이이다.

[eqn: bar{rm DE it} =2~ rm m]이므로 [eqn: bar{rmBE} =5~rmm]

전봇대의 높이를 [eqn: x~rmm]라 하면

[eqn: 1.2``:``x=2``:``5]

[eqn: THEREFORE ``x=3]

따라서 전봇대의 높이는 [eqn: 3~rmm]이다.

연습 문제                         pp. 248~249

1 마름모의 한 변의 길이를 [eqn: x~rmcm]라 하면

[eqn: TRIANGLE rm ADF]∽[eqn: TRIANGLE rmABC]([eqn: rmAA] 닮음)이므로

[eqn: bar{rmAD} ``:`` bar{rmAB} `=` bar{rmDF} ``:`` bar{rmBC}]

즉, [eqn: LEFT ( 12-x RIGHT ) ``:``12=x``:``8]

[eqn: THEREFORE ``x= {24} over {5}]

[eqn: THEREFORE `` bar{rm BE it} = {24} over {5} ```` rm cm]

2 [eqn: bar{rmEH} = bar{rmFG} = {1} over {2} bar{rmBD}]이고,

[eqn: bar{rmEF} = bar{rmHG} = {1} over {2} bar{rmAC}]이므로

[eqn: □rmEFGH]는 평행사변형이다.

또, [eqn: TRIANGLE rmBFE]와 [eqn: TRIANGLE rmCFG]에서

[eqn: bar{rmBE} `=` bar{rmCG} ,~ bar{rmBF} = bar{rmCF}], [eqn: ANGLE rmB= ANGLE rmC]이므로

[eqn: TRIANGLE rmBFE == TRIANGLE rmCFG]([eqn: rmSAS] 합동)

[eqn: THEREFORE `` bar{rmEF} = bar{rmGF}]

따라서 [eqn: □rmEFGH]는 마름모이다.

3 두 점 [eqn: rmP,~Q]는 대각선 [eqn: rmBD]의 삼등분점이므로

[eqn: bar{rmBD} ``:` bar{rmPQ} =3``:``1]

[eqn: bar{rmBD} ``:``4=3``:``1]

[eqn: THEREFORE `` bar{rmBD} =12~rmcm]

4 네 원의 닮음비가 [eqn: 1``:``2``:``3``:``4]이므로

넓이의 비는 [eqn: 1``:``4``:``9``:``16]이다.

따라서 노란색, 빨간색, 파란색, 검은색 부분의 넓이의 비는 [eqn: 1``:``3``:``5``:``7]이다.

5 두 도자기의 닮음비가 [eqn: 3``:``1]이므로 겉넓이의 비는 [eqn: 9``:``1]이다.

따라서 작은 도자기 하나를 칠하는 데 필요한 유약은 [eqn: {1} over {9}]통이다.

[eqn: THEREFORE ``90 TIMES {1} over {9} =10 LEFT ( 통 RIGHT )]

기초

6 [eqn: 4``:``5=2``:``x]    [eqn: THEREFORE ``x= {5} over {2}]

[eqn: 4``:``5=3``:``y]    [eqn: THEREFORE ``y= {15} over {4}]

7 (1) [eqn: bar{rmAG} ``:`` bar{rmGD} =2``:``1]이므로 [eqn: bar{rmAG} =4~rmcm]

(2) [eqn: TRIANGLE rmABG= {1} over {3} TRIANGLE rmABC]이므로

[eqn: 8= {1} over {3} TRIANGLE rmABC]

[eqn: THEREFORE `` TRIANGLE rmABC=24~rmcm ^{2}]

8 [eqn: 1``:``100000=15``:`` LEFT ( 실제~거리 RIGHT )]

[eqn: THEREFORE `` LEFT ( 실제~거리 RIGHT ) =1500000~rmcm]

[eqn: =15000~rmm]

[eqn: =15~rmkm]

따라서 [eqn: 15~rmkm]를 시속 [eqn: 5~rmkm]로 가는 데 걸리는 시간은 [eqn: 3]시간이다.

심화

9 [eqn: TRIANGLE rm ABC,~ TRIANGLE GDP,~ TRIANGLE HPE,~ TRIANGLE P`IF]는 닮은 도형이고, [eqn: bar{rmDP} = bar{rmBI} ,~ bar{rmPE} = bar{rmFC}]이다.

[eqn: TRIANGLE rm GDP``:`` TRIANGLE P`IF``:`` TRIANGLE HPE=9``:``49``:``4]

[eqn: =3 ^{2} ``:``7 ^{2} ``:``2 ^{2}]

[eqn: THEREFORE `` bar{rm BI it} ``:`` bar{rm IF it} ``:`` bar{rm FC it} =3``:``7``:``2]

[eqn: THEREFORE `` TRIANGLE rm ABC``:`` TRIANGLE rm GDP=12 ^{2} ``:``3 ^{2}]

[eqn: =16``:``1]

[eqn: THEREFORE `` TRIANGLE rmABC=16 TRIANGLE GDP]

[eqn: =16 TIMES 9]

[eqn: =144 LEFT ( rmcm ^{2} RIGHT )]

10 작은 컵과 큰 컵의 닮음비가 [eqn: 3``:``5]이므로 부피의 비는 [eqn: 27``:``125]이다.

작은 컵의 부피를 [eqn: x~rmcm ^{3}]라 하면

[eqn: LEFT ( 큰~컵의~부피 RIGHT ) =5 TIMES 75=375 LEFT ( rmcm ^{3} RIGHT )]이므로

[eqn: x``:``375=27``:``125]

[eqn: THEREFORE ``x=81]

따라서 작은 컵의 부피는 [eqn: 81~rmcm ^{3}]이다.

어떻게 써야 할까?	배점
다음 그림과 같이 작은 삼각형과 큰 삼각형의 대응하는 변의 길이의 비를 구하면 [eqn: 27 TIMES 6=162 LEFT ( rmcm RIGHT ) ,~27 TIMES 9=243 LEFT ( rmcm RIGHT )] [eqn: 21 TIMES 6=126 LEFT ( rmcm RIGHT ) ,~21 TIMES 9=189 LEFT ( rmcm RIGHT )] [eqn: THEREFORE ``162``:``243=2``:``3`,~126``:``189=2``:``3]	4점
작은 삼각형과 큰 삼각형은 대응하는 두 변의 길이의 비가 같고, 그 끼인 각의 크기가 같으므로 서로 닮음이고, 닮음비는 [eqn: 2``:``3]이다.	3점
[eqn: 100``:``x=2``:``3]이므로 [eqn: x=150]	3점
총점	10점

서술형 맛보기                           p. 250

따라해 보기

걸쳐진 판자의 길이를 [eqn: y~rmcm]라 하면

[eqn: 5``:``9=y``:``180]

5점

[eqn: THEREFORE ``y=100]

5점

평가 문제                         pp. 251~252

1 ②    2 ④     3 ②     4 ④     5 ②

6 ④    7 ⑤     8 ③     9 ②     10 ⑤

단답·서술형은 풀이 참조

1 [eqn: bar{rm CE it} = {3} over {4} bar{rm BC it} = {3} over {4} TIMES 12=9 LEFT ( rm cm RIGHT )]

2 [eqn: TRIANGLE rmOAB]와 [eqn: TRIANGLE rmONM]의 닮음비는 [eqn: 3``:``2]이므로

[eqn: bar{rmAO} ``:`` bar{rmNO} =3``:``2]

또, [eqn: bar{rm AN it} = bar{rmND}]이므로 [eqn: bar{rmNO} ``:`` bar{rmND} =2``:``5]

[eqn: TRIANGLE rmOCD]에서 [eqn: bar{rmON} ``:`` bar{rmOD} = bar{rmMN} ``:`` bar{rmCD}]이므로

[eqn: 2``:``7=4``:`` bar{rmCD}]    [eqn: THEREFORE `` bar{rmCD} =14~rmcm]

3

[eqn: TRIANGLE rmABG]∽[eqn: TRIANGLE rmACF]([eqn: rmAA] 닮음)이므로

[eqn: bar{rmBG} ``:`` bar{rmCF} =1``:``3]

[eqn: THEREFORE `` bar{rmBG} =2~rmcm]

[eqn: TRIANGLE rmFGE]∽[eqn: TRIANGLE rmFAD]([eqn: rmAA] 닮음)이므로

[eqn: bar{rm G`E it} ``:`` bar{rm AD it} =2``:``3]

[eqn: THEREFORE `` bar{rm G`E it} =2~ rm cm]

[eqn: THEREFORE `` bar{rm BE it} = bar{rm BG it} + bar{rm G`E it} =2+2=4 LEFT ( rm cm RIGHT )]

4

점 [eqn: rmE]에서 [eqn: bar{rmAC}]에 평행한 직선을 그어 변 [eqn: rmDC]와 만나는 점을 [eqn: rmG]라 하면

[eqn: TRIANGLE rmFEG]∽[eqn: TRIANGLE rmFBC]([eqn: rmAA] 닮음)이고,

닮음비가 [eqn: 1``:``2]이므로

[eqn: bar{rmFG} =1~rmcm]

[eqn: bar{rmEG} = {1} over {2} bar{rmBC}]이고, [eqn: bar{rmBC} = bar{rmAC}]이므로

[eqn: bar{rmEG} = {1} over {2} bar{rmAC}]

즉, 점 [eqn: rmE]는 변 [eqn: rmDA]의 중점이다.

[eqn: bar{rmDG} = bar{rmGC} = bar{rmCF} + bar{rmFG} =2+1=3 LEFT ( rmcm RIGHT )]

[eqn: THEREFORE `` bar{rmDF} = bar{rmDG} + bar{rmGF} =3+1=4 LEFT ( rmcm RIGHT )]

5 [eqn: □rmAFGE= TRIANGLE rmAFG+ TRIANGLE rmAEG]

[eqn: = {1} over {6} TRIANGLE rmABC+ {1} over {6} TRIANGLE rmABC]

[eqn: = {1} over {3} TRIANGLE rmABC]

[eqn: =30 LEFT ( rm cm ^{2} RIGHT )]

6 [eqn: bar{rm AH it} ``:`` bar{rm HG it} ``:`` bar{rm GD it} =3``:``1``:``2]이고

[eqn: bar{rm HG it} =3~rmcm]이므로

[eqn: bar{rmAD} = bar{rmAH} + bar{rmHG} + bar{rmGD} =9+3+6=18 LEFT ( rmcm RIGHT )]

7 [eqn: {1} over {2} bar{rmAC} = bar{rmEF} = bar{rmHG} =6~rmcm]

[eqn: {1} over {2} bar{rmBD} = bar{rmEH} = bar{rmFG} =10~rmcm]

따라서 [eqn: □rmEFGH]의 둘레의 길이는

[eqn: 2 TIMES 6+2 TIMES 10=32 LEFT ( rmcm RIGHT )]

8 [eqn: TRIANGLE rmAOD]와 [eqn: TRIANGLE rmCOB]의 닮음비가 [eqn: 1``:``2]이므로 넓이의 비는 [eqn: 1``:``4]이다.

[eqn: THEREFORE `` TRIANGLE rmCOB=12~rmcm ^{2}]

[eqn: bar{rmAO} ``:`` bar{rmOC} =1``:``2]이므로 [eqn: TRIANGLE rmAOD]와 [eqn: TRIANGLE rmDOC]의 넓이의 비는 [eqn: 1``:``2]이다.

[eqn: THEREFORE `` TRIANGLE rmDOC=6~rmcm ^{2}]

[eqn: THEREFORE `` TRIANGLE rmBCD= TRIANGLE rmCOB+ TRIANGLE rmDOC]

[eqn: =12+6=18 LEFT ( rmcm ^{2} RIGHT )]

9 부피의 비가 [eqn: 1 ^{3} ``:``2 ^{3}]이므로 닮음비는 [eqn: 1``:``2]이다. 따라서 [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]의 겉넓이의 비는 [eqn: 1``:`4]이다.

10 두 정육면체의 닮음비가 [eqn: 1`:``4]이므로 부피의 비는 [eqn: 1`:``64]이다.

■단답·서술형■

11 [eqn: bar{rmAB} ``:`` bar{rmAC} = bar{rmBD} ``:`` bar{rmDC}]이므로

[eqn: 4``:``6= bar{rmBD} ``:`` bar{rmDC}]

[eqn: THEREFORE `` bar{rmBD} ``:`` bar{rmDC} =2``:``3]

3점

또, [eqn: TRIANGLE rmCED]∽[eqn: TRIANGLE rmCAB]([eqn: rmAA] 닮음)이고, 닮음비는 [eqn: 3``:``5]이다.

3점

[eqn: THEREFORE `` bar{rmED} ``:`` bar{rmAB} =3``:``5]이므로 [eqn: bar{rmED} ``:``4=3``:``5]

[eqn: THEREFORE `` bar{rm ED it} = {12} over {5} ```` rm cm]

4점

12

새로 놓을 사다리를 [eqn: bar{rmEF}]라 하고 대각선 [eqn: rmAC]와 [eqn: rmEF]가 만나는 점을 [eqn: rmG]라 하면

[eqn: bar{rm EG it} = {1} over {2} bar{rm BC it} = {1} over {2} TIMES 52=26 LEFT ( rm cm RIGHT )]

4점

[eqn: bar{rmGF} = {1} over {2} bar{rmAD} = {1} over {2} TIMES 28=14 LEFT ( rmcm RIGHT )]

4점

[eqn: THEREFORE `` bar{rmEF} = bar{rmEG} + bar{rmGF} =26+14=40 LEFT ( rmcm RIGHT )]

2점

13 [eqn: rmA] 풍선과 [eqn: rmB] 풍선의 부피의 비가

[eqn: 8``:``27=2 ^{3} ``:``3 ^{3}]

5점

따라서 닮음비는 [eqn: 2``:``3]이다.

5점

14 [eqn: 1``:``700= LEFT ( 실제~길이 RIGHT ) ``:``2.1]

5점

[eqn: THEREFORE `` LEFT ( 실제~길이 RIGHT ) =0.003~rmcm]

5점

종합 문제                          pp. 254~255

1

2 [eqn: bar{rmAD}]는 [eqn: ANGLE rmA]의 이등분선이므로

[eqn: bar{rmBD} ``:`` bar{rmDC} = bar{rmAB} ``:`` bar{rmAC} =3``:``4]

[eqn: THEREFORE `` bar{rm BD it} = {3} over {7} bar{rm BC it} = {3} over {7} TIMES 6= {18} over {7}]

또, [eqn: bar{rmBI}]는 [eqn: ANGLE rmB]의 이등분선이므로

[eqn: bar{rmAI} ``:`` bar{rmID} = bar{rmBA} ``:`` bar{rmBD} =3``:`` {18} over {7} =7``:``6]

3 점 [eqn: rmG]가 [eqn: TRIANGLE rmABC]의 무게중심이므로

[eqn: bar{rmAG} ``:`` bar{rmGD} =2``:``1]이다.

즉, 큰 원과 작은 원의 닮음비는 [eqn: 2``:```1]이다.

따라서 넓이의 비는 [eqn: 4``:``1]이다.

4

[eqn: TRIANGLE rmAIG]∽[eqn: TRIANGLE rmGHF]([eqn: rmAA] 닮음)이므로

[eqn: bar{rmAI} ``:`` bar{rmGH} = bar{rmIG} ``:`` bar{rmFH}]

즉, [eqn: 1.5``:``2=4.5``:``x]    [eqn: THEREFORE ``x=6]

기초

5 (1) 점점 커진다.

(2) [eqn: rmAA] 닮음

(3) [eqn: bar{rmAD} ``:`` bar{rmAC} = bar{rmAE} ``:`` bar{rmAB}]

즉, [eqn: bar{rmAD} ``:``70=40``:``90]

[eqn: THEREFORE `` bar{rm AD it} = {280} over {9} ```` rm cm]

6 사진기에 맺힌 수풀의 상의 길이를 [eqn: x~rmcm]라 하면

[eqn: 100``:``12.5=60``:``x]    [eqn: THEREFORE ``x=7.5]

따라서 구하려는 상의 길이는 [eqn: 7.5~rmcm]이다.

심화

7 [eqn: TRIANGLE rmGFE]∽[eqn: TRIANGLE rmGDA]([eqn: rmAA] 닮음)이고, [eqn: bar{rmEF} ``:`` bar{rmAD} =1``:``3]이므로

닮음비는 [eqn: 1``:``3]이다.

따라서 두 삼각형의 넓이의 비는 [eqn: 1``:``9]이다.

점 [eqn: rmE,~F]에서 선분 [eqn: rmAB]에 평행하게 평행선을 그려 선분 [eqn: rmAD]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmM,~N]이라 하고, [eqn: TRIANGLE rmABE]의 넓이를 [eqn: 2a]라 하면

[eqn: TRIANGLE rmAME,~ TRIANGLE MEF,~ TRIANGLE MNF,~ TRIANGLE NDF,]

[eqn: TRIANGLE rmCDF]의 넒이는 모두 [eqn: 2a]로 같다.

[eqn: THEREFORE ``□ rm AEFD=8ita]

[eqn: TRIANGLE rm G`EF= it x~ rm cm ^{2}]라 하면

[eqn: TRIANGLE rmGFE``:``□AEFD=1``:``8]

[eqn: x``:``8a=1``:``8]    [eqn: THEREFORE ``x=a]

[eqn: □rmABCD=36~cm ^{2}]이므로

[eqn: 12a=36]    [eqn: THEREFORE ``a=3]

따라서 색칠한 부분의 넓이는

[eqn: 5a=5 TIMES 3=15 LEFT ( rmcm ^{2} RIGHT )]

8 사면체 [eqn: rmABCD]의 부피를 [eqn: V]라 하면

[eqn: TRIANGLE rmPQR= {1} over {4} TRIANGLE BCD]이고, 높이는 공통이므로 사면체 [eqn: rmAPQR]의 부피는 [eqn: {1} over {4} V]이다.

또, [eqn: LEFT ( 사면체~rmSRQD RIGHT )]∽[eqn: LEFT ( 사면체~rmABCD RIGHT )]이고

삼각형의 중점 연결 정리에 의해 닮음비가 [eqn: 1``:``2]이므로 두 사면체의 부피의 비는 [eqn: 1``:``8]이다. 즉, 사면체 [eqn: rmSQRD]의 부피는 [eqn: {1} over {8} V]이다.

따라서 구하려는 부피의 비는 [eqn: {1} over {4} V``:`` {1} over {8} V]

즉, [eqn: 2``:``1]이다.

생각 키움터                             p. 256

대부분의 사람은 거울의 크기는 관찰자의 키와 거울로부터의 거리와 상관이 있다고 생각한다. 다음 그림에서 선분 [eqn: rmBC]와 선분 [eqn: rmDE]가 평행하므로 삼각형 [eqn: rmABC]와 삼각형 [eqn: rmADE]는 닮은 도형이다. 그리고 눈높이 [eqn: rmA]에서 [eqn: rmP]까지의 거리가 선분 [eqn: rmAQ]의 길이의 반이므로 두 삼각형의 닮음비는 [eqn: 1``:``2]이다.

즉, 거울의 높이인 선분 [eqn: rmBC]는 거울 속 혜영이의 키인 선분 [eqn: rmDE]의 [eqn: {1} over {2}]이므로 거울은 최소한 혜영이의 키의 절반이어야 하고, 거울의 윗부분이 관찰자의 눈과 정수리 사이의 중간 높이에 오도록 놓으면 된다.

혜영

거울 속 혜영

거울