Ⅵ 도형의 성질

익힘책 해설편

1. 삼각형의 성질

선수 학습                       p. 177

1 (1) 각 D           (2) 변 DE

(3) 각 C에 대응하는 각은 각 F이므로

80°-(75°+45°)=60°

(4) 변 EF와 대응하는 변은 변 BC이므로 7cm

2 (1)과 (5)는 대응하는 세 쌍의 변의 길이가 각각 같으므로 합동이다.

(2)와 (6)은 대응하는 두 쌍의 변의 길이와 그 끼인 각의 크기가 각각 같으므로 합동이다.

(3)과 (4)는 대응하는 한 쌍의 변의 길이와 양 끝각의 크기가 각각 같으므로 합동이다.

3 사각형 ABCD가 정사각형이므로 [eqn: rmbar {AB}= bar {AD}],

[eqn: rm ANGLEABE= ANGLEADF=90 DEG]이다.

또, [eqn: rmbar {BE}= bar {DF}]이므로 [eqn: RMTRIANGLE ABE]와 [eqn: RMTRIANGLE ADF]는 대응하는 두 쌍의 변의 길이와 그 끼인 각의 크기가 각각 같으므로 합동이다.

탐구 활동 또 알아보기	p. 178

1 거짓

반례: 크기가 다른 정삼각형 ABC와 정삼각형 DEF는 세 각의 크기가 같지만 합동이 아니다.

2 거짓

반례: 두 자연수 2, 5에서 두 수의 곱 10은 짝수이지만 5는 짝수가 아니다.

3 참

탐구 활동 또 알아보기	p. 179

점 O는 A, B를 지나는 원의 중심이므로 점 O에서 두 점 A, B에 이르는 거리는 같다. 또, 점 O는 두 점 B, C를 지나는 원의 중심이므로 점 O는 세 점 A, B, C로부터 같은 거리에 있다.

익힘 문제                      pp. 180~187

1 (1)은 참인 명제

(2)는 참인 명제

(3), (4)는 명제가 아니다.

2 (1) □ 동위각의 크기가 같다.

(2) □ [eqn: x+3=5]

3 (1) 가정: 두 삼각형이 합동이다.
결론: 두 삼각형의 넓이가 같다.

(2) 가정: 어떤 도형이 정육면체이다.
결론: 어떤 도형의 꼭짓점의 개수는 6개이다.

(3) 가정: 두 삼각형의 대응하는 세 쌍의 변의 길이가 각각 같다.

결론: 두 삼각형은 합동이다.

4 (1) [eqn: ac=bc]이면 [eqn: a=b]이다.(거짓)

(2) [eqn: x+y=5]이면 [eqn: x=1,~y=4]이다.(거짓)

(3) [eqn: x+y]가 짝수이면 [eqn: x,~y]는 짝수이다.(거짓)

(4) 두 삼각형이 합동이면 그 두 삼각형의 대응하는 세 각의 크기가 각각 같다.(참)

5 (1) 두 변의 길이가 같은 삼각형

(2) 네 변의 길이가 같고 네 각의 크기가 모두 같은 사각형

(3) 두 직선 [eqn: l,~m]이 다른 한 직선 [eqn: n]과 만날 때, 같은 방향에 위치하고 있는 두 각

(4) 두 밑면이 평행이고 합동인 삼각형으로 되어 있는 입체도형

6 (1) 가정: [eqn: rm bar { AB}= bar { CD},~ bar { BC}= bar { AD}]

결론: [eqn: RMANGLEABC= ANGLECDA]

(2) [eqn: RM bar { CD},~ bar { AC},~SSS]

7 [eqn: RMANGLEAOB= ANGLECOD=90 DEG]이므로

[eqn: RMANGLECOA= ANGLECOD- ANGLEAOD]

[eqn: RM=90 DEG- ANGLEAOD]

[eqn: RM=ANGLEAOB- ANGLEAOD]

[eqn: RM=ANGLEDOB]

8 이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 같으므로

(1) [eqn: ANGLEx=180 DEG-60 DEG TIMES2=60 DEG]

(2) [eqn: ANGLEx=70 DEG]

(3) 이등변삼각형의 밑각의 크기는

[eqn: 180 DEG-130 DEG =50 DEG]이므로

[eqn: ANGLEx=180 DEG-50 DEG TIMES2=80 DEG]

9 (1) ① [eqn: rm bar { AB}= bar { AC}]

② [eqn: ANGLERMBAD= ANGLECAD,~ bar { AD}]는 공통

③ [eqn: RMANGLEB= ANGLEC]

④ [eqn: RMANGLEB= ANGLEC]

⑤ [eqn: ANGLERMBAD= ANGLECAD,~ bar { AD}]는 공통

⑥ [eqn: rm bar { AB}= bar { AC}]

(2) 증명을 할 때에는 주어진 가정이나 이미 알려진 사실과 성질들을 근거로 하여 결론을 이끌어 낸다. 그런데 예제1과 예제2의 가정이 각각 [eqn: rm bar { AB}= bar { AC}], [eqn: RMANGLEB= ANGLEC]로 다르다.

여기에 같은 조건

‘[eqn: ANGLERMBAD= ANGLECAD,~ bar { AD}]는 공통’이 추가되어 [eqn: RMTRIANGLE ABD]와 [eqn: RMTRIANGLE ACD]가 합동임을 밝히므로 예제1에서는 ‘대응하는 두 쌍의 변의 길이와 그 끼인 각의 크기가 같다.’ 인 합동조건을, 예제2에서는 ‘대응하는 한 쌍의 변의 길이와 그 양 끝각의 크기가 같다.’인 합동조건을 이용하게 된다.

10 (1) [eqn: ANGLERMA=180 DEG-(46 DEG+67 DEG)=67 DEG]

이므로 [eqn: RMANGLEA= ANGLEC]

따라서 [eqn: RMTRIANGLE ABC]는 이등변삼각형이다.

(2) [eqn: RMTRIANGLE ABD]와 [eqn: RMTRIANGLE ACD]에서

[eqn: rm bar { BD}= bar { CD}], [eqn: ANGLERMADB= ANGLEADC=90 DEG]

[eqn: rm bar { AD}]는 공통이므로 [eqn: RMTRIANGLE ABD == TRIANGLEACD]

[eqn: THEREFORE~RM bar { AB}= bar { AC}]

따라서 [eqn: RMTRIANGLE ABC]는 이등변삼각형이다.

11 (1) 두 직선이 평행할 때 엇각의 크기가 같으므로 [eqn: ANGLEx=65 DEG]

(2) 접힌 부분의 각은 접히기 전의 각의 크기와 같으므로 [eqn: ANGLERMABC=65 DEG]

[eqn: ANGLERMABC= ANGLEACB]이므로 [eqn: RMTRIANGLE ABC]는 이등변삼각형이다.

12 [eqn: RM bar { AB}//bar { CD}]이므로 [eqn: RM ANGLE ABC =102 DEG]

[eqn: RMTRIANGLE OBC]는 이등변삼각형이므로

[eqn: ANGLErmOBC][eqn: =2x DEG], [eqn: ANGLERMOBA=102 DEG][eqn: -2x DEG]

[eqn: RMTRIANGLE OAB]는 이등변삼각형이므로

[eqn: ANGLErmOBA = ANGLEOAB]

삼각형의 세 내각의 합은 180°이므로

[eqn: 3x DEG+2(102 DEG-2x DEG)=180 DEG]

[eqn: THEREFORE~x=24]

13 [eqn: RMANGLEDBC = ANGLEBAC+ ANGLEBCA]이므로
[eqn: ANGLErmBCA = 25 DEG]

[eqn: THEREFORE~ ANGLErmBAC = ANGLEBCA]

[eqn: RMTRIANGLE ABC]에서 [eqn: RM bar { BA}=bar { BC}]이므로 이등변삼각형이 되어 배에서 등대까지의 거리는 A 지점에서 B 지점까지 이동한 거리와 같다.

14 ㉠과 ㉡은 빗변의 길이와 한 예각의 크기가 각각 같은 직각삼각형이므로 합동이다.
㉡과 ㉣은 빗변의 길이와 다른 한 변의 길이가 각각 같은 직각삼각형이므로 합동이다.

15 (1) [eqn: ANGLErmE]는 [eqn: ANGLErmA]와 대응하는 각이므로 30°이다.

(2) 빗변의 길이가 8 cm이고, 다른 한 변의 길이가 4 cm로 같으므로 두 직각삼각형은 합동이다.

16 (가) [eqn: bar { RMBD}]

(나) 빗변의 길이와 다른 한 변의 길이

17 직각삼각형 DEB와 DCB에서

[eqn: bar { RMDB}]는 공통,

[eqn: ANGLERMDBE= ANGLEDBC](가정)

빗변의 길이와 한 예각의 크기가 각각 같으므로

[eqn: RMTRIANGLE DEB == TRIANGLE DCB]

[eqn: THEREFORE~RM bar { DC}= bar { DE}]             …… ①

[eqn: RMTRIANGLE ABC]가 직각이등변삼각형이므로

[eqn: ANGLErmDAE = 45 DEG], [eqn: ANGLErmADE = 45 DEG]

따라서 [eqn: RMTRIANGLE AED]는 이등변삼각형이다.

[eqn: THEREFORE~RM bar { DE}= bar { AE}]              …… ②

①, ②에 의해 [eqn: RM bar { DC}= bar { DE}= bar { AE}]

18 직각삼각형 ABD와 ACD에서

[eqn: RM bar { AB}= bar { AC}](가정), [eqn: RM bar { AD}]는 공통

빗변의 길이와 다른 한 변의 길이가 각각 같으므로 [eqn: RMTRIANGLE ABD == TRIANGLEACD]

[eqn: THEREFORE~RM bar { BD}= bar { CD}]

19 점 A와 점 B에서 직선 [eqn: l]에 내린 수선의 발을 각각 점 C, D라 하면

△APC와 △BPD에서 [eqn: RMbar {AP }= bar { BP}](가정)

[eqn: ANGLErmAPC = ANGLEBPD](맞꼭지각)

빗변의 길이와 한 예각의 크기가 각각 같으므로

[eqn: RMTRIANGLE APC == TRIANGLE BPD]  [eqn: THEREFORE```~RM bar { AC}= bar { BD}]

따라서 두 점 A, B에서 직선 [eqn: l]에 이르는 거리는 같다.

20 오른쪽 그림과 같이 끈은 직각삼각형의 빗변이고, 끈이 기둥과 이루는 각은 직각삼각형의 한 예각이다. 빗변의 길이와 한 예각의 크기가 각각 같으므로 두 직각삼각형은 합동이다. 즉 [eqn: RMTRIANGLE ABD == TRIANGLE ACD]

[eqn: THEREFORE~RM bar { BD}= bar { CD}]

따라서 두 끈의 끝 지점에서 기둥까지의 거리는 같다.

21 (1) 점 O는 △ABC의 외심이므로

[eqn: RM bar { OA}= bar { OB}= bar { OC}]

[eqn: RMTRIANGLE OAC]는 이등변삼각형이므로

[eqn: ANGLEx=35 DEG]

(2) 점 I는 △DEF의 내심이다.

내심은 세 내각의 이등분선의 교점이므로

[eqn: ANGLEy=20 DEG]

22 (1) [eqn: 180 DEG-55 DEG=125 DEG]

(2) [eqn: ANGLE rm ABO+ ANGLE rm ACO= ANGLE BAO+ ANGLE CAO=55 DEG]

(3) [eqn: ANGLErmBOC =180 DEG+( ANGLEOBC+ANGLEOCB)]

[eqn: =180 DEG-70 DEG=110 DEG]

(4) [eqn: ANGLE RMBAC][eqn: =ANGLEx]라 하면

[eqn: ANGLE RMB+ ANGLEC=][eqn: 180 DEG- ANGLEx]     …… ①

[eqn: ANGLE RMABO+ ANGLEACO=][eqn: ANGLEx]      …… ②

①-②를 하면

[eqn: ANGLE RMOBC+ ANGLEOCB][eqn: =180 DEG- 2ANGLEx]

△OBC에서

[eqn: ANGLE RMBOC][eqn: =180 DEG-(180 DEG-2 ANGLEx)=2 ANGLEx]

따라서 [eqn: ANGLE RMBOC]의 크기는 [eqn: ANGLE RMBAC]의 크기의 2배이다.

23 [eqn: ANGLErm OAB = ANGLEit x],

[eqn: ANGLErm OBC = ANGLEit y],

[eqn: ANGLErm OCA = ANGLEit z]이므로

[eqn: 2ANGLEit x+2ANGLEit y+2ANGLEit z=180 DEG]

[eqn: THEREFORE~ ANGLEit x+ANGLEit y+ANGLEit z=90 DEG]

24 △IBC에서

[eqn: ANGLE RMIBC+ ANGLEICB=50 DEG]

[eqn: ANGLE RMIBC= ANGLEIBA], [eqn: ANGLE RMICB= ANGLEICA]이므로

[eqn: ANGLE RMABC+ANGLEACB=100 DEG]

[eqn: THEREFORE~ ANGLE RMA= 180 DEG-100 DEG=80 DEG]

25 (가) [eqn: ANGLE RMIBC]	(나) [eqn: ANGLE RMDBI]

(다) [eqn: bar { RMDB}]	(라) [eqn: ANGLE RMICB]

(마) [eqn: ANGLE RMECI]	(바) [eqn: bar { RMEC}]

26 내접원의 반지름의 길이를 [eqn: ITx] cm라 하면

[eqn: TRIANGLE RMAIF]와 [eqn: TRIANGLE RMAIE]에서

[eqn: ANGLE RMF= ANGLEE=90 DEG]

[eqn: ANGLE RMFAI= ANGLEEAI]

[eqn: bar { RMAI}]는 공통인 변이므로

[eqn: TRIANGLE RMAIF]≡[eqn: TRIANGLE RMAIE](RHA 합동)

즉, [eqn: bar { RMAF}= bar { RMAE}]

마찬가지로 [eqn: TRIANGLE RMBIF]≡[eqn: TRIANGLE RMBID], [eqn: TRIANGLE RMCID]≡[eqn: TRIANGLE RMCIE]

이므로 [eqn: bar { RMBF}= bar { RMBD}], [eqn: bar { RMCD}= bar { RMCE}]이다.

[eqn: bar { RMAF}= bar { RMBF}= bar { RMAB}]이므로

[eqn: (3-x)+(4-x)=5]

[eqn: THEREFORE~x=1]

따라서 내접원의 반지름의 길이는 1 cm이다.

27 선박으로부터 삼각형의 세 변까지의 거리가 모두 같으므로 선박은 삼각형의 내심에 위치해 있다. 즉, 선박은 버뮤다 삼각형의 세 내각의 이등분선의 교점에 있다.

연습 문제                          pp. 188~189

1 (1) [eqn: x+2=6]이면 [eqn: x=4]이다. (참)
역: [eqn: x=4]이면 [eqn: x+2=6]이다. (참)

(2) 정사각형의 네 내각의 크기는 모두 같다. (참)
역: 네 내각의 크기가 모두 같은 사각형은 정사각형이다. (거짓)

(3) [eqn: TRIANGLE RMABC]≡[eqn: TRIANGLE RMDEF]이면 [eqn: bar { RMAB}= bar { RMDE}]이다. (참)
역: [eqn: bar { RMAB}= bar { RMDE}]이면 [eqn: TRIANGLE RMABC]≡[eqn: TRIANGLE RMDEF]이다. (거짓)

2 [eqn: TRIANGLE rm ABC]가 이등변삼각형이므로

[eqn: ANGLE RMB= ANGLEC]

[eqn: TRIANGLE RMDFC]에서

[eqn: ANGLE RMCDF=90 DEG- ANGLEC]

[eqn: ANGLE RMADE= ANGLECDF](맞꼭지각)

[eqn: THEREFORE~ ANGLE RMADE= 90 DEG- ANGLEC]

[eqn: ANGLE RMDAE= ANGLEB+ ANGLEC=2 ANGLEC]

[eqn: TRIANGLE RMADE]에서

[eqn: ANGLE RMAED= 180 DEG-2 ANGLEC-(90 DEG- ANGLEC)]

[eqn: =90 DEG- ANGLERMC]

[eqn: THEREFORE~ ANGLE RMADE= ANGLEAED]

따라서 [eqn: TRIANGLE RMADE]는 이등변삼각형이다.

3  두 직각삼각형 BDM과 CEM에서

[eqn: bar { RMBM}= bar { RMCM}],

[eqn: bar { RMMD}= bar { RMME}](가정)

[eqn: THEREFORE~ RMTRIANGLEBDM == TRIANGLECEM]

[eqn: ANGLE RMABM= ANGLEACM= { 1} over {2 }(180 DEG-70 DEG)=55 DEG]

[eqn: THEREFORE~ ANGLE RMBMD= 90 DEG-55 DEG=35 DEG]

4 [eqn: ANGLERMOAB= ANGLEOBA=20 DEG]

[eqn: ANGLERMOBC= ANGLEOCB=30 DEG]

[eqn: ANGLERMOCA= ANGLEOAC]이므로[eqn: ANGLE rm OAB+ ANGLE OAC+ ANGLE OBA+ ANGLE OBC#RM~~~~~~~~~~~~~~~+ ANGLE OCB+ ANGLE OCA=180 DEG]

[eqn: 2ANGLERMOCA=80 DEG~~ THEREFORE~ ANGLEOCA=40 DEG]

5 [eqn: ANGLERMACB= { 1} over { 2}(180 DEG-45 DEG)]
[eqn: =67.5 DEG]

[eqn: THEREFORE~ ANGLERMBCD=2 TIMES67.5 DEG]
[eqn: =135 DEG]

기초

6 (1) 가정: 그것은 사람이다.

결론: 그것은 동물이다.

(2) 가정: [eqn: x+1=6]이다.

결론: [eqn: x=5]이다.

7 (1) 4	(2) 5

8 내심은 내각의 이등분선의 교점이므로

[eqn: ANGLEx=30 DEG]

△AIB에서

[eqn: ANGLEy=180 DEG-40 DEG-20 DEG]

[eqn: =120 DEG]

심화

9 [eqn: ANGLE RMDAB+ ANGLEEAC=90 DEG]

[eqn: ANGLE RMECA+ ANGLEEAC=90 DEG]이므로

[eqn: ANGLE RMDAB=ANGLEECA]

직각삼각형 ADB와 CEA에서

[eqn: bar { RMAB}= bar { RMAC}], [eqn: ANGLE RMDAB=ANGLEECA]

빗변의 길이와 한 예각의 크기가 각각 같으므로

[eqn: TRIANGLE RMADB == TRIANGLECEA]

[eqn: THEREFORE~ bar { RMDB}= bar { RMEA},~bar { RMDA}= bar { RMEC}]

[eqn: THEREFORE~ bar { RMBD}+ bar { RMCE}=bar { RMEA}+ bar { RMDA}=bar { RMDE}]

10 보물은 세 점 A, B, C로부터 같은 거리에 묻혀 있으므로 △ABC의 외심을 찾으면 된다. 따라서 보물은 [eqn: bar { RMBC}]의 중점에 묻혀 있다.

서술형 맛보기                           p. 190

어떻게 써야 할까?	배점
공원 입구를 A, 전망대를 B라 할 때, [eqn: bar { RMAB}]의 수작이등분선 위의 임의의 점에서 A까지의 거리와 B까지의 거리는 항상 같다.	4점
서쪽 길과 해변 길의 교점을 O라 하고, 서쪽 길을 [eqn: vec { RMOC}], 해변 길을 [eqn: vec { RMOD}]라 할 때, [eqn: ANGLERMCOD]의 이등분선 위의 임의의 점에서 [eqn: vec { RMOC}]까지의 거리와 [eqn: vec { RMOD}]까지의 거리는 항상 같다. ([eqn: ANGLERMCOD]의 이등분선을 그린다.)	4점
[eqn: bar { RMAB}]의 수직이등분선과 [eqn: ANGLERMCOD]의 이등분선의 교점에 깃발이 꽂혀 있다.	2점
총점	10점

따라해 보기

공원 입구를 A, 통나무집을 E라 할 때, [eqn: bar { RMAE}]의 수직이등분선 위의 임의의 점에서 A까지의 거리와 E까지의 거리는 항상 같다. ([eqn: bar { RMAE}]의 수직이등분선을 그린다.)

4점

서쪽 길과 북쪽 길의 교점을 C라 하고, 서쪽 길을 [eqn: vec { RMCO}], 북쪽 길을 [eqn: vec { RMCF}]라 할 때, [eqn: ANGLERMOCF]의 이등분선 위의 임의의 점에서 [eqn: vec { RMCO}]까지의 거리와 [eqn: vec { RMCF}]까지의 거리는 항상 같다.([eqn: ANGLERMOCF]의 이등분선을 그린다.)

4점

[eqn: bar { RMAE}]의 수직이등분선과 [eqn: ANGLERMOCF]의 이등분선의 교점에 보물이 있다.)

2점

평가 문제                          pp. 191~192

1 ②	2 ④	3 ①	4 ②	5 ③

6 ②	7 ③	8 ②	9 ④	10 ③

단답·서술형은 풀이 참조

1 ① 거짓인 명제

② 참인지 거짓인지 판별할 수 없으므로 명제가 아니다.

③, ④, ⑤ 참인 명제

2 ① 직사각형: 네 각의 크기가 같은 사각형

② 엇각: 두 직선 [eqn: l,~m]이 다른 한 직선과 만날 때, 서로 반대쪽에 위치하고 있는 두 각

③ 이등변삼각형: 두 변의 길이가 같은 삼각형

⑤ 예각삼각형: 내각이 모두 예각인 삼각형

3 △EAD는 이등변삼각형이므로

[eqn: ANGLERMA= ANGLEADE=50 DEG]

[eqn: bar { RMBC}// bar { RMDE}]이므로

[eqn: ANGLERMABC= ANGLEADE](동위각)

[eqn: THEREFORE~ ANGLERMABC= 50 DEG]

4 [eqn: bar { RMAB}=bar { RMAD},~bar { RMBC}=bar { RMDC}],

[eqn: bar { RMAC}]는 공통이므로

△ABC≡△ADC(SSS 합동)

[eqn: THEREFORE~ ANGLERMBAC= ANGLEDAC]

따라서 [eqn: bar { RMAC}]는 [eqn: ANGLERMBAD]의 이등분선이다.

[eqn: bar { RMAC}]는 이등변삼각형 ABD의 꼭지각의 이등분선이므로

[eqn: bar { RMBE}=bar { RMDE},~bar { RMAC} BOT bar { RMBD}]

[eqn: THEREFORE~ bar { RMDE}=5~RMcm]

5 [eqn: ANGLERMABC= ANGLEACB=70 DEG]이므로

[eqn: ANGLERMPBC= ANGLEPCB=35 DEG]

[eqn: ANGLERMBPC=180 DEG-(35 DEG+35 DEG)=110 DEG]

[eqn: THEREFORE~ ANGLERMitx+ANGLEy=35 DEG+110 DEG=145 DEG]

6 [eqn: ANGLERMBAD+ ANGLEEAC=90 DEG]

[eqn: ANGLERMACE+ ANGLEEAC=90 DEG]

[eqn: THEREFORE~ ANGLERMBAD=ANGLEACE]

직각삼각형 ADB와 CEA에서

[eqn: bar { RMAB}=bar { RMAC}], [eqn: ANGLERMBAD=ANGLEACE]

△ADB≡△CEA (RHA 합동)

[eqn: bar { RMBD}=bar { RMAE}=6~RMcm], [eqn: bar { RMAD}=bar { RMCE}=4~RMcm]이므로

[eqn: bar { RMDE}=bar { RMAD}+bar { RMAE}=bar { RMCE}+bar { RMBD}=10~RM(cm)]

[eqn: RM□DBCE= { 1} over {2 } TIMES( bar { BD} + bar { CE}) TIMES bar { DE}]

[eqn: ={ 1} over {2 } TIMES10 TIMES10]

[eqn: =50(RMcm^2 )]

7 [eqn: bar { RMAB}=bar { RMBD},~bar { RMBE}]는 공통이므로

△ABE≡△DBE (RHS 합동)

[eqn: THEREFORE~ ANGLERMABE= ANGLEDBE=19 DEG]

[eqn: THEREFORE~ ANGLERMACB= 90 DEG- ANGLEABC]

[eqn: = 90 DEG- 2 TIMES19 DEG=52 DEG]

8 [eqn: bar { RMDI}=bar { RMDB}], [eqn: bar { RMIE}=bar { RMCE}]이므로

△ADE의 둘레의 길이는 [eqn: bar { RMAB}+bar { RMAC}]의 길이와 같다.

[eqn: THEREFORE~7+10=17(RMcm)]

9 외심은 삼각형의 세 변의 수직이등분선의 교점으로 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같다. 또, 예각삼각형의 외심은 내부에, 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점에, 둔각삼각형의 외심은 외부에 있다.

10 [eqn: ANGLERMOAB= ANGLEOBA]

[eqn: =19 DEG-(23 DEG+35 DEG)=32 DEG]

이므로 [eqn: ANGLERMAOB= 180 DEG-2 TIMES32 DEG=116 DEG]

■단답·서술형■

11 두 직각삼각형 POA와 POB에서

[eqn: ANGLERMA= ANGLEB=90 DEG]

3점

[eqn: bar { RMPA}=bar { RMPB}]

3점

[eqn: bar { RMOP}]는 공통

이므로 △POA≡△POB (RHS 합동)

[eqn: THEREFORE~ ANGLERMPOA= ANGLEPOB]

5점

따라서 반직선 OP는 [eqn: RMANGLEXOY]의 이등분선이다.

4점

12 이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 같으므로

[eqn: ANGLERMACB=70 DEG]

4점

이등변삼각형은 밑변의 수직이등분선이 꼭지각의 이등분선과 같으므로 [eqn: ANGLERMOAC=20 DEG]

[eqn: bar { RMOA}=bar { RMOC}]이므로

[eqn: ANGLERMOCA= ANGLEOAC=20 DEG]

4점

내심은 세 각의 이등분선의 교점이므로

[eqn: ANGLERMICA= { 1} over {2 } ANGLEACB=35 DEG]

4점

[eqn: THEREFORE~ ANGLERMOCI= ANGLEICA-ANGLERMOCA=35 DEG-20 DEG]

[eqn: =15 DEG]

3점

13 △AID와 △AIF에서

[eqn: ANGLERMD= ANGLEF=90 DEG]

[eqn: ANGLERMDAI= ANGLEFAI]

[eqn: bar { RMAI}]는 공통인 변이므로

△AID≡△AIF (RHA 합동)

즉, [eqn: bar { RMAD}=bar { RMAF}]

마찬가지로 △BID≡△BIE,

△CIE≡△CIF이므로

[eqn: bar { RMBD}=bar { RMBE}], [eqn: bar { RMCE}=bar { RMCF}]

5점

[eqn: bar { RMAD}=ITx]라 하면

[eqn: bar { RMBC}=bar { RMBE}+bar { RMCE}]이므로

[eqn: 12=(16-x)+(10-x)]

3점

[eqn: THEREFORE~x=7]

[eqn: THEREFORE~bar { RMAD}=7~RMcm]

2점

Ⅵ-2 사각형의 성질

선수 학습                       p. 195

1

2 (1) 6 cm	(2) 변 ㄷ, ㄹ

(3) [eqn: 70 DEG]	(4) [eqn: 110 DEG]

3 (1) 가, 나, 다, 라, 마, 바

(2) 나, 다, 마, 바

(3) 다, 바

(4) 마, 바

(5) 바

탐구 활동 또 알아보기	p. 197

점 C를 지나고 [eqn: bar { RMAB}]와 평행한 직선이 직선 [eqn: l]과 만

나는 교점을 E, 점 C를 지나고 [eqn: bar { RMCD}]와 평행한 직

선이 직선 [eqn: l]과 만나는 교점을 F라 하자. 이때,

□ABCE=□DBCF이다.

그런데 △ABC의 넓이는 □ABCE의 넓이의 [eqn: { 1} over {2 }]이고, △DBC의 넓이는 □DBCF의 넓이의 [eqn: { 1} over {2 }]이므로 △ABC=△DBC=10

익힘 문제                         pp. 198~205

1 [eqn: x=4,~y=5]

2 [eqn: ANGLERMA= ANGLEC]이므로 [eqn: ANGLERMITx=30 DEG]

[eqn: ANGLERMD= 80 DEG]이므로 [eqn: ANGLERMITRMPDA=50 DEG]

[eqn: ANGLERMITy=180 DEG- 30 DEG-50 DEG=100 DEG]

[eqn: THEREFORE~ ANGLERMITx=30 DEG,~ ANGLEy=100 DEG]

3 (1) 변 AB의 연장선 위의 한 점을 E라 하면

[eqn: bar { RMAD}//bar { RMBC}]이므로

[eqn: ANGLERMEAD= ANGLEABC]

[eqn: ANGLERMDAB+ ANGLEEAD=180 DEG]

[eqn: THEREFORE~ ANGLERMDAB+ ANGLEABC= ANGLEA+ ANGLEB= 180 DEG]

(2) [eqn: ANGLERMA+ ANGLEB=180 DEG]이고 [eqn: ANGLERMA: ANGLEB=3:2]

이므로

[eqn: ANGLERMA= 180 DEG TIMES { 3} over {5 }=108 DEG]

[eqn: ANGLERMB= 180 DEG TIMES { 2} over {5 }=72 DEG]

[eqn: ANGLERMC= ANGLEA=108 DEG]

[eqn: ANGLERMD= ANGLEB=72 DEG]

4 (가) [eqn: bar { RMCD}]	(나) [eqn: ANGLERMCDF]

(다) 빗변의 길이와 한 예각의 크기

5 [eqn: bar { RMAD}=bar { RMBC}=8~RMcm]

평행사변형에서 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분하므로 [eqn: bar { RMOA}=5.5~RMcm], [eqn: bar { RMOD}=3.75~RMcm]

따라서 △AOD의 둘레의 길이는

[eqn: bar { RMAD}+bar { RMOA}+bar { RMOD}=8+5.5+3.75][eqn: =17.25~RM(cm)]

6 [eqn: bar { RMBE}//bar { RMCD}]이므로 [eqn: ANGLERMBEC+ ANGLEDCE](엇각)

[eqn: ANGLERMBCE+ ANGLEDCE]이므로 [eqn: ANGLERMBCE+ ANGLEBEC]

[eqn: THEREFORE~ bar { RMBE}=bar { RMBC}=7~RMcm]

따라서 △BCE는 이등변삼각형이다.

한편, [eqn: bar { RMAB}=bar { RMCD}]이므로

[eqn: bar { RMAE}=bar { RMBE}-bar { RMAB}=7-5=2(RMcm)]

7 [eqn: ANGLERMABC= ANGLECDA](평행사변형의 대각)이므로

[eqn: ANGLERMABE= { 1} over {2 } ANGLEABC= { 1} over {2 } ANGLECDA= ANGLECDF]

[eqn: THEREFORE~ ANGLERMABE= ANGLECDF]	……①

△ABE와 △CDF에서

[eqn: bar { RMAB}=bar { RMCD}](평행사변형의 대변)	……②

[eqn: ANGLERMBAE= ANGLEDCF](평행사변형의 대각)	……③

①, ②, ③에 의해 대응하는 한 변의 길이와 양 끝각의 크기가 같으므로 △ABE≡△CDF

[eqn: THEREFORE~ bar { RMBE}=bar { RMDF}]

8 (1) 거짓이다.

(2) 옳지 않다.

△AMT와 △HTM은 합동이지만 수미는 합동인 두 삼각형에서 대응하는 각을 잘못 찾았다.

[eqn: ANGLERMAMT]에 대응하는 각은 [eqn: ANGLERMHTM]이고,

[eqn: ANGLERMMTA]에 대응하는 각은 [eqn: ANGLERMTMH]이다.

[eqn: THEREFORE~ ANGLERMAMT= ANGLEHTM,~ ANGLEMTA= ANGLETMH]

9 (1) 두 쌍의 대각의 크기가 같으므로 평행사변형이다.

(2) 한 쌍의 대변의 길이가 같고 다른 한 쌍의 대변이 평행한 사각형이므로 평행사변형이 되는 조건에 해당하지 않는다. 따라서 평행사변형이 아닐 수 있다.

(3) 엇각의 크기가 같으므로 두 직선은 평행하다. 따라서 주어진 사각형은 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 각각 같으므로 평행사변형이다.

(4) 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므로 평행사변형이다.

10 (1) [eqn: 6x-1=3x+8~~ THEREFORE~x=3]

[eqn: 2y=x+5~~ THEREFORE~y=4]

(2) [eqn: 2x+10=110~~ THEREFORE~x=50]

[eqn: 3y+25+110=180~~ THEREFORE~ y=15]

11 (1) 거짓, 오른쪽 사각형은 한 쌍의 이웃하는 두 변의 길이가 같지만 평행사변형이 아니다.

(2) 참, 네 변의 길이가 모두 같으면 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으므로 평행사변형이다.

(3) 참, 네 각의 크기가 모두 같으면 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같으므로 평행사변형이다.

12 □ABCD가 평행사변형이므로

[eqn: RM bar {AD } // bar { BC},~bar {AD } =bar { BC]

[eqn: RMbar {AM } // bar {NC]                        ……①

[eqn: RMbar {AM } = { 1} over {2 } bar {AD}= { 1} over {2 } bar {BC}= bar {NC}]         ……②

①, ②에 의해 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 각각 같으므로 □ANCM은 평행사변형이다.

13 오른쪽 그림에서

[eqn: RMbar {AD } =bar { BC},~RMbar {AB } =bar { DC}]

이므로 □ABCD는 평행사변형이다.

따라서 [eqn: RMbar {AD }]는 항상 처음 막대 [eqn: RMbar { BC}]와 평행하다.

14 □ABCD가 평행사변형이므로

[eqn: RM bar {AD } // bar { BC},~bar {AD } =bar { BC]

[eqn: RMbar {AE } // bar {FC}], [eqn: RMbar {AE } = { 1} over {2 } bar {AD}= { 1} over {2 } bar {BC}= bar {FC}]

따라서 □AFCE는 평행사변형이다.

[eqn: THEREFORE~RMbar {AF } // bar {EC}]	……①

마찬가지로 □EBFD도 평행사변형이다.

[eqn: THEREFORE~RMbar {EB } // bar {DF}]                      ……②

①, ②에 의해 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로  □GFHE는 평행사변형이다.

15 □ABFC: 한 쌍의 대변 [eqn: RM(bar {AB},~ bar { CF})]이 평행하고 그 길이가 같다.

□ACED: 한 쌍의 대변 [eqn: RM(bar {AD},~ bar { CE})]이 평행하고 그 길이가 같다.

□BFED: 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분한다.

16 (1) [eqn: ANGLEx=35 DEG,~ ANGLEy=55 DEG]

(2) [eqn: ANGLEx=30 DEG,~ ANGLEy=120 DEG]

(3) [eqn: ANGLEx=67.5 DEG,~ ANGLEy=22.5 DEG]

17 (가) [eqn: RMbar {BC }]      (나) [eqn: RMbar {DC }]      (다) [eqn: RMbar {BF }]

(라) [eqn: RMbar {EB }]      (마) [eqn: RMbar {EF }]

18 [eqn: ANGLERMDAB+ ANGLEABC=180 DEG]

[eqn: ANGLERMPAB= { 1} over {2 } ANGLEDAB,~ANGLERMABP= { 1} over {2 } ANGLEABC]

[eqn: THEREFORE~ ANGLERMPAB+ ANGLEABP=90 DEG]

[eqn: ANGLERMAPB=90 DEG]이므로 [eqn: ANGLERMSPQ=90 DEG]

마찬가지로 [eqn: ANGLERMPQR=ANGLERMQRS=ANGLERMRSP=90 DEG]

따라서 □PQRS는 직사각형이다.

19 평행사변형이므로 [eqn: ANGLERMA+ ANGLEB=180 DEG]

[eqn: ANGLERMA=90 DEG]이면 [eqn: RMANGLEB=90 DEG]

[eqn: ANGLERMC= ANGLEA=90 DEG],

[eqn: ANGLERMD= ANGLEB=90 DEG](평행사변형의 대각)

[eqn: THEREFORE~ ANGLERMA= ANGLEB =ANGLERMC= ANGLED=90 DEG]

[eqn: RMbar {AB } =bar { BC}]이면 [eqn: RMbar {AB } =bar { CD},~RMbar {BC } =bar { AD}](평행사변형의 대변)이므로

[eqn: RMbar {AB } =bar { BC}=RMbar {CD } =bar { AD}]

따라서 [eqn: ANGLERMA=90 DEG], [eqn: RMbar {AB } =bar { BC}]인 평행사변형은 네 변의 길이가 모두 같고, 네 각의 크기가 모두 같으므로 정사각형이다.

20 △ABE와 △BCF에서

[eqn: RMbar {AB } =bar { BC}]	……①

[eqn: ANGLERMABE= ANGLEBCF= 90 DEG]	……②

[eqn: RMbar {BE } =bar { CF}]	……③

①, ②, ③에 의해 대응하는 두 변의 길이와 그 끼인 각의 크기가 각각 같으므로

△ABE≡△BCF

[eqn: THEREFORE~ ANGLERMBAE= ANGLECBF]

그런데  [eqn: ANGLERMBAE= ANGLEBEA= 90 DEG]이므로

[eqn: ANGLERMCBF+ ANGLEBEG= 90 DEG]

[eqn: THEREFORE~ ANGLERMBGE=180 DEG-( ANGLERMCBF+ANGLERMBEG)=90 DEG]

21 ①, ②에서 그린 원의 반지름의 길이가 같으므로 [eqn: RMbar {AP } =bar { AQ}=bar {BP } =bar { BQ}]

따라서 □PAQB는 마름모이다.

마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분하므로 직선 PQ는 [eqn: RMbar {AB }]의 수직이등분선이다.

22 (1) 참    (2) 참    (3) 거짓    (4) 참

23 [eqn: E SUBSETC SUBSETB SUBSETA,~E SUBSETD SUBSETB SUBSETA]

24 [eqn: RMbar {AB }=6~cm], [eqn: ANGLERMB= ANGLEC=77 DEG,~ ANGLED=103 DEG]

25 [eqn: RMbar {DE } //bar { BC}]이므로 □DBCE는 사다리꼴이다. 그런데 △ABC가 이등변삼각형이므로

[eqn: ANGLERMB= ANGLEC]

□DBCE는 등변사다리꼴이다.

26

	사다리꼴	평행사변형	직사각형	마름모	정사각형
(1)	거짓	거짓	거짓	참	참
(2)	거짓	참	참	참	참
(3)	거짓	참	참	참	참
(4)	거짓	참	참	참	참
(5)	거짓	거짓	참	거짓	참
(6)	거짓	거짓	참	거짓	참
(7)	거짓	거짓	거짓	참	참

27 점 E를 지나고 변 AB에 평행한 직선이 [eqn: RMbar {BC}]와 만나는 점을 F라 하면

□ABFE=3□EFCD

[eqn: RMTRIANGLEABE= { 1} over {2 }□RMABFE= { 1} over {2 } TIMES60=30(cm^2 )]

[eqn: RMTRIANGLE DCE= { 1} over {2 }□RMEFCD= { 1} over {2 } TIMES20=10(cm^2 )]

28 [eqn: RMbar {AC }//bar { DE}]이므로 △ACE=△ACD

∴ □ABCD=△ABC+△ACD

=△ABC+△ACE

=18+7=25[eqn: (rmcm^2 )]

29 점 P를 지나고 [eqn: bar { RMAB}]에 평행한 직선이 [eqn: RMbar {AD } ,~RMbar {BC }]와 만나는 점을 각각 E, F라 하면

[eqn: { 1} over {2 }□RMABFE= TRIANGLEABE= TRIANGLEABP]

[eqn: { 1} over {2 }□RMEFCD= TRIANGLECDE= TRIANGLECDP]

[eqn: ∴~RMTRIANGLEABP+TRIANGLECDP= { 1} over { 2}□ABCD]

연습 문제                         pp. 206~207

1 (1) [eqn: ANGLERMA=ANGLEF= 110 DEG]
(□AEFG에서 대각)

[eqn: ANGLEx= ANGLERMF]
(□ABCD에서 대각)

[eqn: THEREFORE~ ANGLEx= 110 DEG]

한편, [eqn: ANGLERMAEF= 180 DEG-110 DEG=70 DEG]

[eqn: RMbar {AB } //bar { CD}]이므로 [eqn: ANGLEy= ANGLERMAEF](엇각)

[eqn: THEREFORE~ ANGLEy= 70 DEG]

(2) □ABCD가 평행사변형이므로

[eqn: RMbar {AB } //bar { DC},~RMbar {AD } //bar { BC}]

□AEFG가 평행사변형이므로

[eqn: RMbar {AE } //bar { GF},~RMbar {AG } //bar { EF}]

그런데 [eqn: RMbar {AB }]와 [eqn: RMbar {AE }]는 같은 직선상의 선분이므로 [eqn: RMbar {AB } //bar {DC}//bar { GF}]

또, [eqn: RMbar {AD }]와 [eqn: RMbar {AG }]도 같은 직선상의 선분이므로 [eqn: RMbar {AD } //bar {BC}//bar { EF}]

따라서 □AEHD, □DHFG, □EBCH는 모두 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 평행사변형이다.

2 [eqn: RMbar {AB } =bar { DC}]                         ……①

[eqn: ANGLERMABC= ANGLEDCB](가정)             ……②

[eqn: RMbar {BC }]는 공통                        ……③

①, ②, ③에 의해 대응하는 두 변의 길이가 각각 같고, 그 끼인 각의 크기가 같으므로

△ABC≡△DCB

[eqn: THEREFORE~ RMbar {AC } =bar { BD}]

3 직사각형, □ABCD의 두 대각선 [eqn: RMbar {AC }]와 [eqn: RMbar {BD }]의 길이가 같으므로 □ABCD는 직사각형이다.

4

위의 그림과 같이 배의 끝점을 P라 하면

[eqn: RMbar {PA } =bar { PB}]이므로 그리려는 평행사변형은 마름모 APBQ가 된다. 이 마름모 APBQ의 대각선 PQ가 두 견인선이 끄는 힘의 합력이다.

기초

5 [eqn: x=5,~ ANGLEy=120 DEG]

6 (2), (3)

7 평행사변형, 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분한다.

심화

8 점 F를 지나고 [eqn: RMbar {EG }]와 평행한 직선이 [eqn: RMbar {AD},~RMbar {BC}]와 만나는 점을 각각 H, I라 하면

△EFG=△EHG

따라서 [eqn: RMbar {HG }]는 땅의 넓이를 변화시키지 않는 경계선이다.(또는 [eqn: RMbar {EI }]를 경계선으로 하여도 된다. △EFG=△EIG)

9 (1) △FEC는 [eqn: RMbar {EF} =bar { CF}]인 이등변삼각형이므로

[eqn: ANGLERME= ANGLEC]

□ABCD는 평행사변형이므로

[eqn: ANGLERMBAD= ANGLEC]

[eqn: THEREFORE~ ANGLERME= ANGLEBAD]

(2) △FEC는 이등변삼각형이므로

[eqn: ANGLERME= ANGLEDCB]                   ……①

[eqn: RMbar {AB } //bar { DC}]이므로

[eqn: ANGLERMABE= ANGLEC](동위각)            ……②

①, ②에 의해 [eqn: ANGLERME= ANGLEABE]이므로

△AEB는 [eqn: RMbar {AE } =bar { AB}]인 이등변삼각형이다.

[eqn: RMbar {AB } =bar { DC}](평행사변형의 대변)이므로

[eqn: RMbar {AE } =7~cm]

[eqn: THEREFORE~ RMbar {AF } =bar { EF}- bar { AE}=10-7=3~(cm)]

서술형 맛보기                          p. 208

어떻게 써야 할까?	배점
정육각형 ABCDEF에서 [eqn: rm bar{AB} = bar{BC} = bar{CD} = bar{DE} = bar{EF} = bar{FA}], [eqn: ANGLE rm A= ANGLE rm B= ANGLE rm C= ANGLE rm D= ANGLE rm E= ANGLE rm F]이다. [eqn: rm bar{FA} = bar{CD} ,~ bar{EF} = bar{BC} ,~ ANGLE F= ANGLE C]이므로 △FAE≡△CDB (SAS 합동)	3점
□ABDE에서 △FAE≡△CDB이므로 [eqn: rm bar{AE} = bar{BD}] [eqn: rm bar{AB} = bar{DE}] 따라서 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다. 따라서 □ABDE는 평행사변형이다.	4점
[eqn: ANGLE rm ABD= ANGLE rm ABC- ANGLE rm CBD] [eqn: ANGLE rm BDE= ANGLE rm CDE- ANGLE rm CDB] [eqn: ANGLE rm DEA= ANGLE rm DEF- ANGLE rm FEA] [eqn: ANGLE rm EAB= ANGLE rm FAB- ANGLE rm FAE] 그런데 [eqn: ANGLE rm ABC= ANGLE rm CDE= ANGLE rm DEF= ANGLE rm FAB], [eqn: ANGLE rm CBD= ANGLE rm CDB= ANGLE rm FEA= ANGLE rm FAE]이므로 [eqn: ANGLE rm ABD= ANGLE rm BDE= ANGLE rm DEA= ANGLE rm EAB]	3점
총점	10점

따라해 보기

△ABC와 △BCD에서

[eqn: RMbar {AB} =bar {BC}], [eqn: RMbar {BC} =bar {CD}], [eqn: ANGLERMABC= ANGLEBCD]

[eqn: THEREFORE~ RMTRIANGLEABC == TRIANGLEBCD](SAS 합동)

[eqn: THEREFORE~ RMbar {AC} =bar {BD}]

마찬가지로 [eqn: RMTRIANGLEABC == TRIANGLE DEF== TRIANGLE EFA]

[eqn: THEREFORE~ RMbar {AC} =bar {DF}=bar {EA}]

3점

[eqn: ANGLERMGBC= ANGLEGCB=ANGLERMHEF= ANGLEHFE]

[eqn: RMbar {BC} =bar {EF}]

[eqn: THEREFORE~ RMTRIANGLE GBC == TRIANGLE HEF](ASA 합동)

또, [eqn: RMTRIANGLE GBC]와 [eqn: RMTRIANGLE HEF]는 두 각의 크기가 같으므로 이등변삼각형이다.

[eqn: THEREFORE~ RMbar {CG} =bar {BG}=bar {FH}=bar {EH}]

4점

[eqn: RMbar {AC} =bar {BD}=bar {DF}=bar {EA}]이므로

[eqn: RMbar {AC}- bar {CG}=bar {BD}-bar {BG}=bar {DF}-bar {FH}=bar {EA}-bar {EH}]

[eqn: THEREFORE~ RMbar {AG} =bar {GD}=bar {DH}=bar {HA}]

3점

평가 문제                         pp. 209~210

1 ①	2 ⑤	3 ⑤	4 ③	5 ③

6 ②	7 ③	8 ④	9 ⑤	단답·서술형은 풀이 참조

1 ① 이웃하는 두 변의 길이만 같으면 평행사변형이 될 수 없다.

2 [eqn: ANGLERMA+ANGLERMB= 180 DEG], [eqn: ANGLERMA:ANGLERMB= 2:1]이므로

[eqn: ANGLERMA= 180 DEG TIMES { 2} over {3 }=120 DEG= ANGLEC]

3 [eqn: RMbar {BC} =bar {AD}=9~cm](평행사변형의 대변)

[eqn: ANGLERMBCE=ANGLERMECD]

[eqn: ANGLERMBEC=ANGLERMECD](엇각)

[eqn: ANGLERMBCE=ANGLERMAEC]

따라서 △BCE는 이등변삼각형이다.

[eqn: RMbar {BE} =bar {BC}=9~cm]

[eqn: RMbar {AB} =bar {BE}-bar {AE}=9-4=5~(cm)]

평행사변형의 대변의 성질에 의해

[eqn: RMbar {CD} =bar {AB}=5~cm]

4 두 대각선의 서로 다른 것을 이등분하므로

[eqn: RMbar {OA} =bar {OC}],

[eqn: RMbar {OB} =bar {OD}]

또, [eqn: ANGLERMEAO=ANGLERMFCO](엇각),

[eqn: ANGLERMEOA=ANGLERMFOC](맞꼭지각),

[eqn: RMbar {OA} =bar {OC}]이므로

△OAE≡△OCF (ASA 합동)

5 [eqn: RMbar {AD} =bar {BC}=10~cm]

□AFCE는 두 대각선이 서로 다른 것을 수직이등분하므로 마름모이다.

[eqn: THEREFORE~ RMbar {AE} =bar {AF}=7~cm]

[eqn: THEREFORE~ RMbar {ED} =bar {AD}-bar {AE}=10-7=3~(cm)]

6 ① [eqn: ANGLERMA+ANGLERMB= 180 DEG]이므로 [eqn: ANGLERMA=ANGLERMB]이면

[eqn: ANGLERMA=90 DEG]이다.

② [eqn: RMbar {AC} BOT bar {BD}]이면 마름모가 된다.

③ [eqn: RMbar {AO} = bar {DO}]이면 [eqn: RMbar {AC} = bar {BD}]이다.

④ [eqn: ANGLERMABC=90 DEG]이면 [eqn: ANGLERMBAD=90 DEG]이므로

[eqn: ANGLERMADC=ANGLERMBCD=90 DEG]이다.

⑤ [eqn: ANGLERMOAB=ANGLERMOBA]이면 △OAB는 이등변삼각형이 되어 [eqn: RMbar {OA} = bar {OB}]이다. 즉, [eqn: RMbar {AC} = bar {BD}]이다.

7 [eqn: RMbar {BE} =bar {CE}]

[eqn: ANGLERMEBI=ANGLERMECJ= 45 DEG]

[eqn: ANGLERMBEI=90 DEG- ANGLERMIEC]

[eqn: =ANGLERMCEJ]

∴ △EBI≡△ECJ (ASA 합동)

겹쳐진 부분의 넓이는 △EBC의 넓이와 같으므로 □ABCD의 넓이의 [eqn: { 1} over {4 }]이다.

[eqn: THEREFORE~RM□EIDJ= TRIANGLE EBC= { 1} over {4 }□ABCD]

[eqn: = { 1} over {4 } TIMES4=1(rmcm^2 )]

8

9 점 A를 지나고 [eqn: bar { RMDC}]에 평행한 직선이 [eqn: bar { RMBC}]와 만나는 점을 E라 하면

[eqn: ANGLERMABC=ANGLERMAEB]

[eqn: =ANGLERMDCB]

[eqn: THEREFORE~ ANGLERMABC=ANGLERMDCB]

△ABC와 △DBC에서

[eqn: RMbar {AB} =bar {CD},~bar {BC}]는 공통

[eqn: ANGLERMABC=ANGLERMDCB]

△ABC≡△DBC (SAS 합동)

[eqn: TRIANGLE RMOAB= TRIANGLEABC- TRIANGLE OBC]

[eqn: = RMTRIANGLE DBC- TRIANGLE OBC= TRIANGLE OCD]

■단답·서술형■

10 [eqn: RMbar {AB} //bar {FD},~bar {AB} =bar {FD}]이므로 □ABDF는 평행사변형이다.

3점

평행사변형의 대각선의 성질에서

[eqn: RMbar {AH} =bar {HD}= { 1} over {2 }bar {AD}=bar {AB}]

3점

마찬가지로 [eqn: RMbar {BG} =bar {AB}]

2점

따라서 □ABGH는 마름모이다.

2점

[eqn: THEREFORE~ ANGLERMAPB=90 DEG]

3점

11 (가) [eqn: RMbar {DC}]	(나) [eqn: ANGLERMDAC]	(다) [eqn: RMbar {AC}]

10점

12

위의 그림과 같이 다리미판 다리를 [eqn: RMbar {AB} ,~bar {CD}]라 하고 그 교점을 E라 하면

[eqn: RMbar {AE} =bar {CE},~bar {DE} =bar {BE}]

[eqn: ANGLERMAED=ANGLERMCEB](맞꼭지각)이므로

[eqn: RMTRIANGLE ADE ==TRIANGLE CBE] (SAS 합동)

[eqn: THEREFORE~ ANGLERMADE=ANGLERMCBE]

4점

[eqn: RMTRIANGLE EDB]는 이등변삼각형이므로

[eqn: ANGLERMEDB=ANGLERMEBD]

[eqn: ANGLERMADB=ANGLERMADE+ANGLERMEDB]

[eqn: =ANGLERMCBE+ANGLERMEBD=ANGLERMCBD]

[eqn: THEREFORE~ ANGLERMADB=ANGLERMCBD]           ……①

4점

마찬가지로 [eqn: ANGLERMDAC=ANGLERMBCA]  ……②

2점

①, ②에 의해 [eqn: ANGLERMADB+ANGLERMDAC=180 DEG]이므로 [eqn: RMbar {AC} //bar {DB}]

3점

13 [eqn: RMbar {AD} //bar {FC}]이므로 [eqn: RMTRIANGLE DFC =TRIANGLE AFC]

2점

[eqn: RMbar {AC} //bar {EF}]이므로 [eqn: RMTRIANGLE AFC =TRIANGLE AEC]

2점

[eqn: RMbar {AE} //bar {DC}]이므로 [eqn: RMTRIANGLE AEC =TRIANGLE AED]

2점

따라서 [eqn: RMTRIANGLE DFC]와 넓이가 같으므로 같은 삼각형은

[eqn: RMTRIANGLE AFC], [eqn: RMTRIANGLE AEC], [eqn: RMTRIANGLE AED]이다.

4점

종합 문제                          pp. 212~213

1 [eqn: RMbar {AB}=bar {AD}]이므로

△ABD에서

[eqn: ANGLERMABD=ANGLERMADB]

[eqn: RMbar {CB}=bar {CD}]이므로

△CBD에서

[eqn: ANGLERMCBD=ANGLERMCDB]

[eqn: ANGLERMABC=ANGLERMABD-ANGLERMCBD]

[eqn: =ANGLERMADB-ANGLERMCDB]

[eqn: THEREFORE~ ANGLERMADC=26 DEG]

2 [eqn: RMbar {OA}]는 공통,

[eqn: ANGLERMOAD=ANGLERMOAF],

[eqn: ANGLERMODA=ANGLERMOFA=90 DEG]

이므로

[eqn: RMTRIANGLE OAD ==TRIANGLE OAF](RHA 합동)

[eqn: THEREFORE~RMbar {OD}=bar {OF}]                          ……①

[eqn: RMbar {OC}]는 공통, [eqn: ANGLERMOCF=ANGLERMOCE],

[eqn: ANGLERMOFC=ANGLERMOEC=90 DEG]

이므로

[eqn: RMTRIANGLE OCF ==TRIANGLE OCE](RHA 합동)

[eqn: THEREFORE~RMbar {OF}=bar {OE}]                          ……②

①, ②에 의해 [eqn: RMbar {OD}=bar {OE}=bar {OF}]

3 내접원의 반지름의 길이를 [eqn: r~RMcm]라 하면 [eqn: 9pir^2]

[eqn: THEREFORE~r=3]

[eqn: RMTRIANGLE ABC=TRIANGLE IAB+TRIANGLE IBC +TRIANGLE ICA]

[eqn: 20= { 1} over {2 }RM( bar { AB} TIMES3+ bar { BC} TIMES3+ bar { CA} TIMES3)]

[eqn: = { 3} over {2 }RM( bar { AB}+ bar { BC} + bar { CA})]

[eqn: THEREFORE~ RM bar { AB}+ bar { BC} + bar { CA}= { 40} over { 3}]

따라서 △ABC의 둘레의 길이는 [eqn: { 40} over {3 }~``RMcm]이다.

4 □ABCD가 평행사변형이므로 그림에서

[eqn: RMbar {BF}=bar {DH}]이므로

[eqn: RMbar {AH}=bar {AD}-bar {DH}=bar {BC}-bar {BF}=bar {FC}]

[eqn: ANGLERMA=ANGLERMC,~ bar { AE}= bar { CG}]이므로

△ABC≡△CGF (SAS 합동)

[eqn: THEREFORE~ RMbar {EH}=bar {GF}]                      ……①

[eqn: RMbar {AE}=bar {CG}]이므로

[eqn: RMbar {EB}=bar {AB}-bar {AE}=bar {DC}-bar {CG}=bar {GD}]

[eqn: ANGLERMB=ANGLERMD,~ bar { BF}= bar { DH}]이므로

△EBF≡△GDH (SAS 합동)

[eqn: THEREFORE~ RMbar {EF}=bar {HG}]                         ……②

①, ②에 의해 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으므로 □EFGH는 평행사변형이다.

5 점 D에서 [eqn: RMbar {BC}]에 내린 수선의 발을 F라 하면

[eqn: ANGLERME=ANGLERMF]이므로 [eqn: RMbar {AE}//bar {DF}]

[eqn: RMbar {AD}//bar {BC}]이므로

□AEFD는 두 쌍의 대변이 평행하므로 평행사변형이다.
[eqn: THEREFORE~ RMbar {AD}=bar {EF}=8~cm]

[eqn: RMbar {AB}=bar {DC}], [eqn: ANGLERMB=ANGLERMC,~ ANGLERME=ANGLERMF=90 DEG]
이므로 △ABE≡△DCF (RHA 합동)

[eqn: THEREFORE~ RMbar {BE}=bar {FC}]

[eqn: RMbar {BE}+bar {FC}=bar {BC}-bar {EF}=12-8=4(cm)]

[eqn: THEREFORE~ RMbar {BE}=2~cm]

기초

6 (1) 거짓인 명제
(2) 참인 명제

(3) 거짓인 명제

7 [eqn: RMbar {AB}=bar {BC}]이므로

[eqn: ANGLERMBAC=ANGLERMBCA=20 DEG]

[eqn: ANGLERMDBC]는 [eqn: ANGLERMABC]의 외각이므로 [eqn: ANGLERMDBC=40 DEG]

[eqn: RMbar {BC}=bar {CD}]이므로 [eqn: ANGLERMCDB=ANGLERMCBD=40 DEG]

[eqn: THEREFORE~ ANGLERMDCE=60 DEG]

8 (1)-(ㄱ), (2)-(ㄷ), (3)-(ㄴ), (4)-(ㄹ)

심화

9 [eqn: RMbar {AB}=bar {AD}], [eqn: RMbar {CB}=bar {CD}], [eqn: RMbar {AC}]는 공통이므로

△ABC≡△ADC (SSS 합동)

[eqn: THEREFORE~ ANGLERMBAC=ANGLERMDAC]

따라서 [eqn: RMbar {AC}]는 이등변삼각형 ABD의 꼭지각의 이등분선이므로 [eqn: RMbar {AC} BOT bar {BD}]

10 [eqn: ANGLERMABD=ANGLERMDCA](가정)
[eqn: ANGLERMDCA=ANGLERMCAB](엇각)이므로

[eqn: ANGLERMABD=ANGLERMCAB]

따라서 △OAB는 [eqn: RMbar {OA}=bar {OB}]인 이등변삼각형이다. 한편, □ABCD가 평행사변형이므로

[eqn: RMbar {OA}=bar {OC}], [eqn: RMbar {OB}=bar {OD}]

[eqn: THEREFORE~ RMbar {OA}=bar {OB},~bar {OC}=bar {OD}]

즉, 두 대각선의 길이가 같고, 서로 다른 것을 이등분하므로 □ABCD는 직사각형이다.

생각 키움터                          p. 214

점 P가 정삼각형 ABC의 내부에 있다고 하자. 점 P를 지나 밑변 BC에 평행한 직선이 변 AB, AC와 만나는 점을 각각 [eqn: rmB'], [eqn: rmC']이라고 하자. 그러면 삼각형 [eqn: RMAB'C']은 정삼각형이고

[eqn: h'=h _{ 2}+h _{ 3}]이다.

또, [eqn: h_{ 1} = bar { rmMM'}]이다.

정삼각형의 높이 [eqn: h]는 [eqn: h'+bar { rmMM'}]와 같으므로

[eqn: h=h _{ 1}+ h _{ 2}+h _{ 3}]